Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Wenn wir ein freies Teilchen haben, so wissen wir aus Kapitel 5.3 [GleichungenhinterGleichung(5.16)],
dasseinsolcherAnfangszustandsichim
Ortsraumverbreitert,d.h. ∆xwird größer.
Der Zustand behält zwar die Form eines Gausspakets, aber mit ” komplexer
Varianz“ (ψ(x,t) ≈ e −(x−(po/m)t) 2 /2a 2 (x) , a komplex), d.h. er verliert die
Eigenschaftminimaler Unschärfe.
Der Grundzustand des harmonischen Oszillators ist ein Zustand minimaler
Unschärfe:
ψ0(x) = 4
mω
π¯h e−mωx2 /2¯h
(¯x = ¯p = 0, γ = 1
mω )
(derläuft natürlich nicht auseinander)
7.7.3 Wahrscheinlichkeitsverteilung
Schrödingersche Wellenfunktion, Ortsdarstellung ❀ unmittelbar: Wahrscheinlichkeitsdichtew(x)
w(x) = ψ ∗ (x)ψ(x) (35)
❀ Wahrscheinlichkeitenfür Messungvon Orten x
Wahrscheinlichkeit(sdicht)enfürbeliebige Messgrößen?
Trick: RückführungvonWahrscheinlichkeitsdichtenaufErwartungswerte
Def.: charakteristischeFunktion Fx(α)
Fx(α) ≡
∞
−∞
Erwartungswertvon e iαx
e iαx w(x)dx (36)
Fouriertransformiertevon w(x)
DieKenntnisdieserFunktionerlaubtdieBerechnungdesErwartungswerts
jederPotenzvon x durchAbleiten(falls derErwartungswertexistiert):
n
d
Fx(α) = x
diα
n e iαx w(x)dx (37)
xn
= x n n d
w(x)dx = Fx(α)
diα
(38)
α=0
❀ neueDarstellungdercharakteristischenFunktion
Fx(α) =
∞ x
∑
n=0
n
n! (iα)n = eiαx (39)
(36) ⇒ w(x) = 1
∞
e
2π −∞
−iαx Fx(α)dα (40)
91