Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

∞
∑
n=0
erzeugendeFunktion: e −t2 +2tx 1
=
n! tnHn(x)
d2 d
Differentialgleichung: −2x
dx2 dx +2n
Hn(x) = 0
1
Vollständigkeit: √
π
6.4 FreiesElektron
V(x) = 0
∞
∑
n=0
1
2n x2 −
Hn(x)e 2 Hn(x
n! ′ x′2 −
)e 2 = δ(x−x ′ )
ϕ ′′ + 2m
E ϕ = 0 (26)
2
¯h
E < 0 nicht erlaubt (führt zu Lösungen,die entwederfür x → ∞ oderfür
x → −∞ exponentiellansteigen)
JederWert E ≥ 0isterlaubt. Für E > 0 liegtzweifache Entartungvor:
ϕ(x) = e ±ikx
2m
k =
1
E = 2
¯h ¯h
2m p2
2m
= p
¯h
(27)
Diese Eigenfunktionen sind nicht mehr im üblichen Sinn normierbar. Wie
man dennochmit ihnen arbeitenkann,werdenwir spätersehen.
ψ(x,t) = e
p i p
±i¯h x− ¯h
2
2mt de-Broglie-Wellen,rechts- undlinkslaufend
6.5 Tunneleffekt
Teilchenmit einerEnergie E < Vmax laufe gegeneinenPotentialberg
klassisch wird einsolchesTeilchenreflektiert
(28)
quantenmechanisch? es kann mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit auf
die andere Seite des Berges gelangen (antizipiertes
Ergebnis)
dasTeilchen scheintdurchdenPotentialberg ” hindurch zu tunneln“
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