Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

EineMöglichkeit: Lösen des Eigenwertproblems der gewöhnlichen DifferentialgleichungzweiterOrdnung,dasdurchGleichungen
(6.21) und (6.22) gegeben ist, d. h. Verwendung
derOrtsdarstellung.
Esgehtaber eleganter:
Grundidee: Schreibe H alsProdukt A † A einesOperatorsmit seinemadjungierten
Operator; das ermöglicht sofort eine Abschätzung der
Energie nach unten. Weitere Manipulationen führen von der
Abschätzungzu exaktenEigenwerten.
Lassen wir Vorfaktoren (und zunächst auch den Operatorencharakter) außeracht,
hat unserHamiltonoperatordieForm
x 2 +y 2 = (x−iy)(x+iy) = z
z
∗ z
DieslegtdieEinführung folgenderOperatorennahe:
mω
b = ˆx+
2¯h
i
mω ˆp
b †
mω
= ˆx−
2¯h
i
mω ˆp
(6a)
(6b)
Wir müssen natürlich bei der Multiplikation b † b etwas aufpassen, weil ˆx
und ˆp nicht kommutieren.
Um (6) im Hamiltonoperator zu benützen, drücken wir ˆx und ˆp durch b
und b † aus:
¯h
ˆx =
2mω (b† +b) (7a)
ˆp =
¯hmω
2 i(b† −b) (7b)
WirberechnenzunächstdenKommutator(unddenAntikommutator)von
b und b † :
bb † ∓b † b
= mω
2¯h
= mω
2¯h
ˆx+ i
mω ˆp
ˆx− i
mω ˆp
∓ ˆx− i
mω ˆp
ˆx+ i
mω ˆp
ˆx 2 + i ˆp2
[ˆp, ˆx]+
mω m2
∓ ˆx
ω2 2 − i ˆp2
[ˆp, ˆx]+
mω m2ω2
Die Berechnung des Antikommutators motiviert sich aus der bei der Berechnung
des Kommutators gemachten Beobachtung, dass die Summe einigerTermefast
denHamiltonoperatorergibt.Wir haben also
b,b †
= i
[ˆp, ˆx] = 1
¯h
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