Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Assoziierte Legendre-
Funktionen:
Pm l (x) = (−1)m (1−x 2 ) m/2
dm
dxm Pl(x) = (−1)m
2l (1−x
l!
2 ) m/2
dl+m
dxl+m(x2 −1) l
P −m
l (x) = (−1) m(l−m)!
Differentialgleichung: (1−x 2 )y ′′ −2xy ′ +
Diskussionderniedrigsten Eigenfunktionen
(l+m)! Pm l (x)
l = 0, m = 0 s-Funktion (s-Orbital), Anzahl: 1
Formel(57) Y00(ϑ, ϕ) = 1
√ 4π
Darstellungvon |Y00| 2 im Polardiagramm
l(l+1)− m2
1−x 2
(winkelunabhängig)
l = m = 0
l = 0: kein Drehimpuls
y = 0
Klassisch entspräche dies Bahnen um bzw. durch den Ursprung des Zentralpotentials
(Das linke Bild ist das eigentlich richtige. Im rechten ist das Zentrumnicht
im BrennpunktderEllipse.)
l = 1, m = ±1, m = 0 p-Funktion (p-Orbital), Anzahl: 3
3
Y1,±1(ϑ, ϕ) = − sin ϑe±iϕ
(+) 8π
3
Y1,0(ϑ, ϕ) = cos ϑ
4π
Polardiagramme
l = 1
m = ±1
133
m = 1
m = −1
(Polardiagramm
entsprichtdem
derAbstrahlcharakteristikdes
hertzschenDipols)