Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Ortsmessung ❀ A = ˆx
ˆx|x〉 = x ⇑ |x〉 (oder ˆx|ψx〉 = x|ψx〉)
Eigenwert=gemessenePosition
die ” Wahrscheinlichkeit“ |〈x|ψ vorher〉| 2 = |ψ vorher(x)| 2
isthier eineWahrscheinlichkeitsdichte
Misstman dieEnergie,soerhält man die EigenwerteEn desHamiltonoperators.
7.7.2 Verallgemeinerte Heisenbergsche Unschärferelation
Mit welcher Genauigkeit könne zwei beliebige Observablen gleichzeitig
gemessenwerden? ” Gleichzeitig“ isthiernichtunbedingtwörtlichzunehmen.
Wenn die beiden Messungen inkompatible Apparaturen benötigen,
ist das schwer zu verwirklichen. Was gemeint ist, ist dass die Messungen
am selbenZustandstattfinden.Dasheißt,wirpräparierenvieleTeilchenin
Zustand |ψ〉 und messen dann an einer Teilmenge die Eigenschaft A, an
eineranderendieEigenschaft B.
ψ ∆A = (A− Ā) 2 (A− ψ = Ā)ψ (A− Ā)ψ = (A− Ā)ψ
(26a)
ψ ∆B = (B− ¯B) 2
ψ = 〈(B− ¯B)ψ|(B− ¯B)ψ〉 = (B− ¯B)ψ
(26b)
(Ā = 〈ψ|A|ψ〉). FürdasProduktdieserGrößenerhaltenwir eineAbschätzung
nach untendirektaus derSchwarzschen Ungleichung
∆A·∆B = (A− Ā)ψ(B− ¯B)ψ ≥ (A− Ā)ψ (B− ¯B)ψ
Ungleichung (27) würden wir gerne durch Größen ausdrücken, die direkt
mitObservablenzusammenhängen(ambestendurchdenErwartungswert
einesOperators).Setzenwir
|u〉 = (A− Ā)|ψ〉, |v〉 = (B− ¯B)|ψ〉
sowird (27) etwaskompakter
∆A·∆B = uv ≥ |〈u|v〉|
(27)
|〈u|v〉| =
1
2
(〈u|v〉+〈v|u〉) +
α
Realteil
1
2 (〈u|v〉−〈v|u〉)
≥ |β| (28)
β
Imaginärteil
〈u|v〉−〈v|u〉 = (A− Ā)ψ (B− ¯B)ψ − (B− ¯B)ψ (A− Ā)ψ
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