Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Für Operatoren, deren Kommutator eine c-Zahl ist, gilt die Baker-
Campbell-Hausdorff-Formel:
Vor.: [A,[A,B]] = 0 [B,[A,B]] = 0
⇒ e A+B = e A e B e −1 2 [A,B]
(Beweis:Übung)
b †
,b = −1 ⇒
e iβ(b† +b) = e iβb †
b †
, b †
,b = 0
e iβb e −1 2 (iβ)2 [b † ,b]
e 1 2 β2 (−1) =e − 1 2 β2
Fˆx(α) = e −β2 /2 iβb
〈0|e †
e iβb |0〉
e iβb |0〉 =
also Fˆx(α) = e −α2 ¯h/4mω
∞
(iβb)
∑
n=0
n
n!
∞
〈0|
⇒ w(x) = 1
2π −∞
mω
w(x) =
π¯h e−mω ¯h x2
|0〉
b, b †
,b = 0
= e iβb†
e iβb e −1 2 β2
∞
∑
¯h
mit β = α
2mω
(iβb) n
|0〉 = |0〉+
n=1
n!
0
|0〉
= |0〉
e −α2 ¯h/4mω−ixα dα (∗)
(22)
wobei wir ausgenützt haben, dass wir das komplexe Gaußintegral
(∗) im Wesentlichen wie ein reelles behandeln dürfen (wurde in den
Übungenbesprochen).
DieWahrscheinlichkeitsdichtedesOrtsimGrundzustanddesharmonischen
Oszillators istalso eineGaußverteilungmit Breite
¯h
∆x =
2mω
Da wir wissen, dass die Wellenfunktion bei einem eindimensionalen
Problem mit diskreten Eigenzuständen reell gewählt werden kann
(weil das Spektrum nicht entartet ist) erhalten wir auch direkt die
WellenfunktiondesGrundzustandsin derOrtsdarstellung
ψ(x) 2 = ψ ∗
mω
(x)ψ(x) = w(x) =
π¯h e−mω ¯h x2
=⇒ ψ(x) =
1
mω 4
π¯h
106
e −mω
2¯h x2
(23)