Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

10.6 WKB-Methode(Wentzel-Kramers-Brillouin-Methode)
(Auch WKBJ-Methode; das ” J“ steht für Jeffreys, der eigentlich noch vor
dendreianderenAutorenRelevanteszurMethodepubliziert hat.)
Quasi-klassischer Grenzfall: Energie groß, Wellenlänge klein (gegenüber
charakteristischer Distanz,, über die das Potentialsich
wesentlichändert)
❀ WellenfunktiondurchortsabhängigeWellenzahl
charakterisierbar (Erwartung)
Systematische Untersuchung: stelle Wellenfunktion durch Amplitude A
undPhase S dar
ψ(x) = A(x) e i
¯h S(x)
Die zeitunabhängigeSchrödingergleichungliefert
(80)
− ¯h2
2m ∇2 ψ = E−V(x) ψ, (∗)
wobei ∇ψ = ∇Ae i
¯h S + A i i
∇Se ¯h
¯h S ,
∇2 ψ = ∇2 Ae ī hS +2 i
¯h ∇A∇Se ī hS + A i
¯h ∇2Se ī hS − 1
¯h 2A∇S2e ī hS ,
wassich nach Einsetzenin (∗) auf
A∇S 2 −i¯hA∇ 2 S−2i¯h∇A∇S− ¯h 2 ∇ 2 A = 2m(E−V)A . (81)
reduziert. Da S und A reell sind, lässt sich eine Aufspaltung in Real- und
ImaginärteilleichtdurchführenundmanerhältzweigekoppelteGleichungenfür
AmplitudeundPhase.
quasiklassischer Bereich: (∇S) 2 ≫ ¯h∇ 2 S, zweiterTerm≪ erster
Real- undImaginärteilvon (81):
(∇S) (82a)
2 = 2m(E−V) +¯h 2 ∇ 2 A/A ֒→ − ¯h2
2m∇2A/A: Quantenpotential
(Bohm)
−∇2 S = 2∇S∇ln|A| (82b)
Im Folgenden beschränken wir uns auf eindimensionale Probleme (inklusivederRadialbewegungin
Zentralpotentialen):
d 2
dx 2S
(82b) 1 d
+ ln|A| = 0
2 d
dxS dx
d 1
dx 2 ln
dS
dx
+ ln|A| = 0
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