Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

(Die Richtung A Erhaltungsgröße ⇒ A zeitunabhängig lässtsich sozeigen:
〈ψ|A|ψ〉 = const. ∀|ψ〉 ⇒ ψ ˙A ψ = 0 ∀|ψ〉 (Heisenbergbild)
⇒ ˙A = 0, da ein Operator verschwindet, wenn alle seine Erwartungswerteverschwinden,s.Abschn.7.5.)
Das bedeutet, A istErhaltungsgröße,wenn
˙A = 0 ⇐⇒
(58)
[H,A] = 0 (60)
also, wenn A mit dem Hamiltonoperator kommutiert (Voraussetzung: H
selbstist konstant).
Anmerkung: [H,A] = 0 (aber natürlich nicht: ˙A = 0) impliziert auch im
Schrödingerbild,dass A eineErhaltungsgrößeist:
i
[H,A] Schrödingerbild = e− ¯h Ht [H,A] Heisenbergbilde i
¯h Ht
Aus Abschnitt 7.8 folgt dann, dass der Hamiltonoperator H und A einen
SatzgemeinsamerEigenvektorenhaben.
Messung von A wirft das System (falls keine Entartung vorliegt) in
einenEigenzustandnicht nurvon A sondernauch von H.
Die Eigenzustände von H sind aber gerade die stationären Zustände, die
imLaufderZeitnurihrePhaseändern,wasaberkeinenEinflussaufMesswahrscheinlichkeiten
hat. (Im Fall der Entartung kann der Zustand auch
nichtstationär sein, aber er bewegt sich nur in einem Unterraum des Hilbertraums,
der von Eigenvektoren von A zum selben Eigenwert an aufgespannt
wird.) Eine zweite Messung der zu A gehörigenObservablen nach
beliebiger Zeit (also nicht notwendigerweise unmittelbar nach der ersten)
mussalsozum selbenMesswertan führen.
Erhaltungsgrößen haben also die eigenartige Eigenschaft, dass man zwar
nicht weiß, was die ersteMessungin einem beliebig präparierten Zustand
füreinenWertliefernwird,aberwohl,welchenMesswertjedeweitereMessung
liefert, kennt man erst das Ergebnis der ersten Messung - vorausgesetztnatürlich,
man misstnicht zwischendurch eineandereGröße.
Wiederholte Messungen führen zum selben Ergebnis wie die erste
(wenn die Entwicklung der Zustände zwischen den Messungen ungestörtbleibt).
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