Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

mit
p 2 r = −¯h 21
r
∂ 2
r (20’)
∂r2 (derFaktorr auf derrechtenSeitevon p 2 r legtdenAnsatz u n,l(r)/r nahe).
− (62a)
¯h2 d
2m
2
+V(l)
dr2 eff (r)
un,l(r) = En,lun,l(r) V (l) ¯h2 l(l+1)
eff (r) = V(r)+
2m r2 l = 0,1,2,... (62b)
Bisjetztgaltalles füreinbeliebigesZentralpotential;vonnunanbeschränkenwir
unsauf dasH-Atom
V(r) = − e2
4πǫ0r
− ¯h2
2m
d2 e2
−
dr2 4πǫ0r + ¯h2l(l+1) 2mr2
un,l = En,lun,l EinführungdimensionsloserGrößen(zweckmäßigfürdieweitereBehandlung)
ρ = r
εnl =
a0
Enl Eion
2
4πε0¯h
a0 =
me2 = 0.5˚A BohrscherRadius
Eion = e2
8πε0a0
normierteSchrödingergleichung
d2
un,l +
dρ2 = e4m 32π2ε2 = 13.6eV Ionisationsenergie
0¯h2 (63)
(64)
εn,l + 2 l(l+1)
−
ρ ρ2
un,l = 0 (65)
−Vl(ρ) gewöhnlicheDifferentialgleichungzweiterOrdnung,linear,nichtkonstanteKoeffizienten
Übersichtüberqualitatives Lösungsverhalten: ρ ≪ 1und ρ ≫ 1
AusderForderung,dassdie Lösungnormierbar ist, folgt,dass
ρ 2|u nl(ρ)| 2
ρ 2 dρ < ∞ also
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|u nl(ρ)| 2 dρ < ∞