Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

4 Bohrsche Quantisierung
4.1 Bohrsche Postulate
Bohr: Wie ist das Rutherford-Modell des Atoms zu modifizieren, um die
Strahlungsinstabilität derElektronenhüllezu beseitigen?
Ziel: ErklärungdiskreterSpektralliniendesWasserstoffatomsderForm
1
λ
= RH
1 1
−
n2 m2
n = 1,2,..., m = n+1,n+2,...
[ einestrengemathematische Lösunggelang ihmnicht ]
BohrschePostulate:
i) PeriodischeBewegungenmikroskopischerphysikalischerSystemeerfolgeninstationärenZuständenmitdiskretenEnergienEnohneEnergieabstrahlung
ii) Übergänge zwischen den stationären Zuständen sind mit Emission
oderAbsorptionelektromagnetischerStrahlungverknüpft,derenFrequenzdurch
¯hω = Em−En gegebenist
Ergebnis: En = − RHhc
n 2
Frage:Wie erhält man die En?
FürharmonischenOszillator bekannt: En = n¯hω (Quantenhypothese)
Strategie: ErrateBerechnungsvorschriftausdiesembekanntenErgebnis
Quantisierungsregel –sondert aus dem Kontinuum möglicher
Bahneneine diskreteKlasse aus
4.2 HarmonischerOszillator
Hamiltonfunktion
H(q,p) = p2 m
+
2m 2 ω2q 2
Energiesatz: H(q,p) = E
❀ Bahnenin derPhasenebene
sindEllipsen
p 2
2mE
+ q2
2E
mω 2
p
√ 2mE
√ 2E/mω 2
= 1 (2)
25
q
(1)