Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

2) HisteineuklidischeroderunitärerRaum=reelleroderkomplexerVektorraummit
Skalarprodukt
Schreibweise fürSkalarprodukt:〈α| β〉 (= 〈β| α〉 ∗ )
Bezeichnungen:
Orthogonalität: |α〉,|β〉 orthogonal ⇔ 〈α| β〉 = 0
Norm: α = 〈α| α〉
Esgeltendie
Schwarzsche Ungleichung: |〈α| β〉| ≤ αβ
(Gleichheit, wenn|α〉 = c|β〉)
unddie Dreiecksungleichung: α−β ≤ α+β ≤ α+β
IstHendlichdimensionalmit Dimension n
❀ jeder Satz von n linear unabhängigen Vektoren ist eine Basis,
d.h. jedes Element ∈ H lässt sich als Linearkombination dieser
Zuständeschreiben.
Für ∞dimensionale Hilberträume sind folgende zwei Eigenschaften noch
explizit zu nennen (weil sie anders als im endlichdimensionalen Fall nicht
selbstverständlichsind)
3) H ist separabel
Es gibt mindestens eine Folge von Vektoren |αn〉, die in H überall
dicht ist. (D.h., zu jedem ε > 0 ∃ für jedes |ψ〉 ∈ H mindestens ein
|αm〉 mit αm − ψ < ε.)
Definition: Orthonormalsystem(ONS)
Menge M von Vektoren,für diegilt:
βi
βj = δij ∀ |βi〉,
↑
Kroneckersymbol
βj ∈ M
vollständiges Orthonormalsystem: ONS, so
dass es kein Element = |0〉 aus H gibt, das orthogonalzu
allen |βi〉 steht
Separabilität ⇒ Dimension von H höchstensabzählbar ∞
4) H ist vollständig 10
JedeCauchy-Folge|αn〉 ∈ H konvergiertgegenein Element|α〉 ∈ H.
[Cauchy-Folge: Zujedem ε > 0 ∃ N(ε), sodass
αn − αm < ε ∀ n,m > N(ε)]
Es kann gezeigt werden, dass ein vollständiges ONS ganz H aufspannt,
d.h. jeder Vektor |ϕ〉 aus H lässt sich nach diesem System
10 Ein reeller oder komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt, der nicht notwendigerweise
vollständigist,heißtPrähilbertraum.
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