Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

9.2.6 Darstellung im Ortsraum
Vertauschungsregeln mögliche Eigenwertevon L 2 und Lz
(im letztenAbschnittbestimmt)
Kommen alle in derNaturvor?
IneinemgegebenenquantenmechanischenSystemkannaufgrundderNatur
der Argumentation nur der Fall ganzzahliger oder halbzahliger Eigenwertevon
Lz/¯h vorkommen.
Für den hier betrachteten Fall, d.h. die Bewegung eines Teilchens ( ” Bahndrehimpuls“)
sind, wie wir gleich sehen werden, nur die ganzzahligen
Wertevon l erlaubt.
Halbzahlige WertekommenaberinderNaturauchvor,beimsogenannten
Spin oderEigendrehimpuls–denFall betrachtenwirspäter.
Bahndrehimpuls – l ganzzahlig
Spin-, Eigendrehimpuls – halbzahlige l möglich
Ortsdarstellung,Polarkoordinaten
x = rsin ϑcos ϕ
y = rsin ϑsin ϕ
z = rcos ϑ
L = x× p = x× ¯h
i ∇ = rer × ¯h
∂
er
i ∂r +eϑ
1 ∂
r
= ¯h
∂ 1
eϕ −
i ∂ϑ sin ϑ eϑ
∂
∂ϕ
L = ¯h
∂ eϑ ∂
eϕ −
i ∂ϑ sin ϑ ∂ϕ
∂ϑ +eϕ
1 ∂
rsin ϑ ∂ϕ
[s. Gl. (26)]
(26’)
Zwecks Berechnung von Lz sowie L ± in Polarkoordinaten brauchen wir
zunächst
eϑ = cos ϑcos ϕex +cos ϑsin ϕey−sin ϑez eϑ = 1
∂r
r ∂ϑ
eϕ = −sin ϕex +cos ϕey
eϕ = 1
∂r
rsin ϑ ∂ϕ
Lz = ¯h ∂
i ∂ϕ
L ± = Lx ±iLy
128
(49)