Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Aψi
ψj
ai −aj ψi
ψj
= aiψi
= 0 ⇒
ai=a j
∗
ψj = ai
ψi
ψj
ψi
ψj = ai
= 0
ψi
ψj Eigenzustände zum gleichen Eigenwert (d. h. entartete Zustände)
müssen nicht orthogonal sein, man kann aber Linearkombinationen
ausihnenkonstruieren,dieeinenorthogonalenSatzbilden(ohneBeweis).
iv) DieEigenzuständeeineshermiteschenOperatorsbildeneinvollständigesONS
(wennentarteteZuständeorthonormalisiertwerden).
AntihermitescheOperatoren: A † = −A
(haben rein imaginäre Eigenwerte)
Jeder Operator lässt sich eindeutig in einen hermiteschen und einen antihermiteschenAnteilzerlegen:
A =
A+ A†
2
Ah + A− A†
2
Aah PhysikalischeObservablen reelle Messgrößen
(15)
❀ Observablen entsprechenhermiteschenOperatoren [fast 1 : 1]
liefertjedeMessungeinerObservableneinenreellenMesswert,somuss
auch derMittelwertvieler Messungenreellsein
hermitesche Operatoren sind genau diejenigen, die immer, d.h. für jedenZustandsvektor,reelle
Erwartungswerteliefern
[ Esgilt A = A † ⇒ 〈ψ| A|ψ〉 reell ∀|ψ〉
aber esgilt auch dieUmkehrung:
〈ψ| A|ψ〉 reell ∀|ψ〉 ⇒ A = A †
Beweisidee:
〈ψ|A|ψ〉 reell ⇒
ψA−
A †
ψ = 0
❀ man zeige 〈ψ|B|ψ〉 = 0 ∀ |ψ〉 impliziert B = 0;
dieserreichtman durch Setzungvon |ψ〉 = λ1|ψ1〉+λ2|ψ2〉;
durch die Wahlen λ2 = λ1 = λ bzw. λ2 = −iλ1 = −iλ kann
man zeigen
〈ϕ1|B|ϕ2〉 = 0 ∀|ϕ1〉,|ϕ2〉 ⇒ B ≡ 0 ]
Orts- und Impulsoperator sind selbstadjungiert, das lässt sich in der Ortsdarstellungleicht
zeigen
〈ϕ|x|ψ〉 = d 3 x ϕ ∗
(x)xψ(x) = d 3 x (xϕ(x)) ∗ ψ(x) = 〈xϕ|ψ〉
83