Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Am günstigsten fängt man mit dem Eigenvektor |0〉 zum niedrigsten Eigenwert0an,demsogenanntenGrundzustandoderVakuumzustand(nicht
zu verwechselnmit demNullvektor,für dendie Notation|0〉 ab jetztnicht
mehr zurVerfügungsteht,erwird nurnoch als 0geschrieben).
Grundzustand(Vakuumzustand):
b|0〉 = 0 〈0|0〉 = 1 (15)
definierendeGleichung,erlaubtseineBestimmungineinergewähltenDarstellung[z.
B.in derOrtsdarstellung
mω
2¯h
x+ ¯h
∂
ψ(x) = 0, (DGL 1. Ordn.)]
mω ∂x
Oft ist diese Berechnungaber gar nicht nötig, es reicht zu wissen, dass der
Grundzustandexistiertundnormiertist.
DurchsukzessiveAnwendungvonb † erhältmandieangeregtenZustände:
|1〉 = b † |0〉
|2〉 = 1
√ b
2 † |1〉 = 1 † √ b
2·1
2 |0〉
|3〉 = 1
√ b
3 † |2〉 = 1
† √ b
3!
3 |0〉 (16)
.
|n〉 = 1
√ n b † |n−1〉 = 1
√ n!
Normierung?(Zeigenwir jetzt.)
b † n |0〉
b †
m
= b †
mb
† 1
2
m = mbb
†
1
2
m
= mb
† 1
2
b+1 m = 〈m|N+1|m〉 1 2 = 〈m|m+1|m〉 1 2
❀ setze
= (m+1) 1 2 〈m|m〉 1 2 = (m+1) 1 2m
1
√
b
m+1 †
|m〉
= m (17)
ist |m〉 auf 1normiert,soauch
|m+1〉 =
1
√ m+1 b † |m〉
1
√ m+1 b † |m〉 (18)
Die Folge (16) von Zuständen liefert also einen orthonormierten Satz von
Eigenvektoren.
104