Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

für jedes Integrationsintervallgelten muss, also insbesondereauch bei untererIntegrationsgrenzenulloderobererGrenze
unendlich.
ρ ≪ 1 (ρ ≈ 0)
Ansatz: u = cρ β (allgemein: u = ∑ ∞ ν=0cνρ β+ν
β mussnicht notwendigerweiseganzzahlig sein
Frobeniusreihe)
β(β−1)ρ β−2 −l(l+1)ρ β−2 = 0 (VernachlässigungderTerme
∼ ρ β und∼ ρ β−1 )
β(β−1) = l(l+1)
Dies ist eine quadratische Gleichung für β, mit den Lösungen β1 = l +1
und β2 = −l. Die zweite Lösung ist für l ≥ 1 aufgrund der Normierbarkeitsforderungauszuschließen.ImFall
l = 0divergiertdieWellenfunktion
für r → 0 wegen des Vorfaktors 1/r, was wir ebenfalls als physikalisch
unvernünftigausschließen.
u n,l(ρ) = cρ l+1 +... für ρ ≪ 1 (66)
ρ ≫ 1 (ρ → ∞)
vernachlässige Terme∼ 1 1
ρ ,∼ ρ2 in (65)
d 2 u
dρ 2 + εu = 0 u = Aei√ ερ +Be −i √ ερ
u = Ae −αρ +Be αρ
ε > 0
ε = −α 2 < 0
ε > 0 ⇒ Lösungsverhaltenwiesin √
ερ/ρ fürgroße ρ
√
nicht normierbar ρ2 2 √
2
dρ sin ε/ρ = dρ sin ερ
Würden wir auch ungebundene Zustände suchen, müssten wir
dieseLösungenmit in Betrachtziehen.
also: ε = −α 2 < 0 u = Ae −αρ (e αρ nicht normierbar)
u n,l(ρ) = Ae −αρ
Lösungsansatz:
∞
l+1
u(ρ) = ρ ∑ cν ρ
ν=0
ν e −αρ = ∑cν
ρ
ν=0
l+ν+1 e −αρ
Einsetzenin dieDifferentialgleichung
∑ ν
cν
für ρ ≫ 1 (67)
∞
(l+ ν+1)(l+ ν)ρ l+ν−1 +2(l+ ν+1)(−α)ρ l+ν +✘✘✘ ✘
α 2 ρ l+ν+1
136
(68)