Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

〈ϕ|ˆp|ψ〉 =
= d 3 x
Unitäre Operatoren
∀|ϕ〉,|ψ〉 ∈ H ⇒ x † = x
∇ψ(x) = − d
i 3 x ¯h
i [∇ϕ∗ (x)] ψ(x)
d 3 x ϕ ∗ (x) ¯h
part.Int.bzw. Gaussscher Satz
∗ ¯h
i ∇ϕ(x)
ψ(x) = 〈ˆpϕ|ψ〉
∀|ϕ〉,|ψ〉 ∈ H ⇒ ˆp † = ˆp
U † U = UU † = 1 (16)
U † = U −1
Links-undRechtsinversesmüssenbeide existieren
Beispiel: e iA fürhermitesches A,denn
(e iA ) † = e −iA†
e iA
e iA †
= e iA e −iA = 1
[hier haben wir die Rechenregel e A+B = e A e B , falls [A,B] = 0, verwendet;
mehr dazu in denÜbungen]
Formale LösungderSchrödingergleichung:
i¯h| ˙ψ〉 = H|ψ〉 (17)
i − ¯h Ht
|ψ(t)〉 =
e
|ψ(0)〉 (18)
Zeitentwicklungsoperator
ist |ψ(0)〉 einEigenzustanddesHamiltonoperators,d.h.gilt
H|ψ(0)〉 = E|ψ(0)〉 (19a)
dann wird daraus
|ψ(t)〉 = e − ī h Et |ψ(0)〉 (19b)
d.h.|ψ(t)〉 istein stationärerZustandmit Energie E.
Anwendungeinesunitären Operatorslässt dieNormungeändert:
Uψ2
= 〈Uψ|Uψ〉 = ψU
†
Uψ
= 〈ψ|ψ〉 = ψ2 Der tiefere Grund dafür, dass die Zeitentwicklung eines Zustands infolge
derSchrödingergleichungdurcheineunitäreOperationgegebenist,istalso
dieErhaltungderWahrscheinlichkeitunddiedamitverbundeneNormierbarkeitsforderung.
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