Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

= 1
2 ǫijk ǫjkm
2δim
Bm = Bi
Außerdemgiltoffensichtlich −x×B = B×x,denndieKomponentenvon
x und B vertauschenmiteinander.
magnetfeldabhängigeTermein (3)
− e i¯he 1i¯he
Ap ψ = A·∇ ψ =
m m 2 m (B×x)·∇ ψ
Spatprodukt, zyklische Vertauschbarkeit,
solange ∇ rechts von allen
Funktionenvon x bleibt
= i¯he e
(x×∇)·B ψ = − L·B ψ (6)
2m 2m
L: Bahndrehimpulsoperator
e2 2m A2ψ = e2
8m (x×B)2 ψ = e2
8m
e
=
2B2 x 2 B 2 −(x·B) 2 ψ
8m
wähle ezB
(x2 +y 2 ) ψ (7)
(6):Beitragzum Paramagnetismus,(7): Diamagnetismus
VergleichbeiderTerme:
e2 8m 〈x2 +y2 〉B2
e
2m 〈Lz〉B
≈ e
4
a2 B2 ¯hB = e a2 B 1
=
4¯h 4
= 1.1·10 −10 B
[Gauß]
e 2
4πε0¯hc
α
Bc
e
4πε0a 2
〈x 2 +y 2 〉 ≈ a 2 , a – Bohrscher Radius, 〈Lz〉 ≈ ¯h, α – sommerfeldsche Feinstrukturkonstante
❀ GrößenordnungdesVerhältnisses:
Feinstrukturkonstante×Verhältnis von B zu atomaren
elektrischenFeldstärken(Bc im SI)
Experimentellca. 10 5 Gerreichbar A 2 -Term vernachlässigbar, wenn
〈Lz〉 = 0
diamagnetische Effekte für im Atom gebundene e − kleiner als paramagnetische;
das ist anders für freie oder fast freie (= Metall-) Elek-
tronen
VergleichparamagnetischerTerm–Coulomb-Energie
e
2m 〈Lz〉B
e2 (e/2m)¯hB
≈
/4πε0a e2 1
=
/4πε0a 2 α
kleineÄnderungderEnergieniveaus
a = ¯h2 4πε0
me 2
Bc
e/4πε0a2 = 2·10−10 B
[Gauß]
183
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