Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Gesamthilbertraum= tensorielles Produkt der Hilberträume der OrtseigenzuständeundderSpineigenzustände
Einallgemeiner Zustandlässt sich wiefolgt als Überlagerungschreiben:
|ψ〉 = d 3 x ψ + (x)|x,↑〉+ψ − (x)|x,↓〉
Schreibweiseals Spaltenvektor
ψ + (x)
ψ(x) =
ψ−
←− Spinor
(x)
Eigenwertgleichungfür Spinoperator
S·e |±〉 e = ± ¯h
2 |±〉 e
o.B.d.A.:e in z-Richtung
Sz|±〉 = ± ¯h
2
(30)
|±〉 (31)
VertauschungsrelationenderSpinkomponenten: Drehimpulsoperatoren
mit l = 1
2
S ± = Sx ±iSy
[Si,Sj] = i¯hǫ ijkS k [Sz,S ± ] = ±¯hS ±
S 2 |↑〉 = 3
4 ¯h2 |↑〉 S 2 |↓〉 = 3
4 ¯h2 |↓〉
Sx = 1
2 (S+ +S − ) Sy = 1
2i (S+ −S − )
[S + ,S − ] = 2¯hSz
InderBasis |↑〉,|↓〉 sinddie Matrixelementevon S±,Sz gegebendurch:
Setze
S + = ¯h
0 1
0 0
S = ¯h σ σ = ⎝
⇒ Pauli-Spinmatrizen
0 1
σx =
1 0
Eigenschaften:
⎛
σ 2 x = σ 2 y = σ 2 z = 1
[σx, σy] = 2iσz
S − = ¯h
σx
σy
σz
⎞
σy =
0 0
1 0
Sz = ¯h
2
1 0
0 −1
(32)
(33)
⎠ (34)
0 −i
i 0
191
σz =
1 0
0 −1
(35)
+zyklisch vertauschteRelationen