Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Angenommen, wir haben alle Eigenfunktionen der stationären Schrödingergleichung;dannkönnenwirdieWellenfunktionnachdiesenEigenfunktionenentwickeln:
ψ(x) =
∞
∑ cnϕn(x)
n=0 ↑
EigenfunktionenderstationärenSG
Voraussetzung:die ϕn(x) bilden einenvollständigenSatz(tun sie)
[Der einfacheren Schreibung wegen beschränken wir uns wieder auf den
eindimensionalenFall.]
ϕn(x) bekannt(n = 0,1,2,...) ⇒ ψ(x) ist gegeben durch die Folge
(c0,c1,c2,...)
– unendlichdimensionalerVektor
❀ Vektor(c0,c1,c2,c3,...): weitere Darstellung des Zustandes neben
Orts-undImpulsdarstellung
|c0| 2 , |c1| 2 , |c2| 2 , usw. – Wahrscheinlichkeiten, das System bei einer Energiemessungim
Zustand ϕ0, ϕ1, ϕ2,... zu finden
Beispiel: Istc0 = 1,sobefindetsichdasSystemim Zustand ϕ0.Befindetes
sich in einemZustandderForm
ψ(x) = 1 √ 2 ϕ0(x)+ 1
√ 2 ϕ1(x)e iα ,
so wird man es jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1
2 in ϕ0 oder ϕ1
finden.
Durch Entwickeln der Wellenfunktion nach anderen vollständigen Systemen
erhält man weitere Darstellungen, deren Koeffizienten zur Berechnung
der Wahrscheinlichkeiten, das System in den betreffenden Basiszuständenzu
finden,benütztwerdenkönnen.
|ψ〉: Zustandsvektor
Hilbertvektor,Hilbertraumvektor
Die beiden letzten Bezeichnungen nehmen Bezug auf die mathematische
StrukturdeszumZustandvektorgehörendenVektorraums–wirdnochgenauer
betrachtet.
nicht: |ψ(x)〉!
(der Zustandvektor ist nur in speziellen Darstellungen eine FunktiondesOrts)
Am besten stellt man sich unter |ψ〉 keine Funktion vor – wenn man eine
Vorstellungbraucht, istdieeinesVektorsnützlicher.
Vorteil: größereÜbersichtlichkeitd.TheoriedurchkompakteSchreibweise
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