Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

10.5 Variationsprinzip
Das Eigenwertproblem
H|ψ〉 = E|ψ〉 (75)
istäquivalent zu einerFolgevon Variationsproblemen.
Man bilde dasFunktional
¯H = 〈ψ|H|ψ〉
〈ψ| ψ〉
undbestimme|ψ〉 so,dass ¯H minimal wird.Die Lösungsei|ψ1〉
|ψ1〉 ist derGrundzustand
E1 = ¯H |ψ1〉 derzugehörigeEnergieeigenwert
Als nächstesbestimmeman das Minimum |ψ2〉 von ¯H unterder Nebenbedingung
〈ψ| ψ1〉 = 0
|ψ2〉, E2 = ¯H |ψ2〉
sind(imFalleinesnichtentartetenGrundzustands)derersteangeregteZustandunddie
zugehörigeEnergie(ansonstenein zweiterGrundzustand).
(76)
Eine (n+1)te Lösung |ψn+1〉 von (75) erhält man durch Minimierung von
¯H unterdenNebenbedingungen
〈ψ|ψi〉 = 0 i = 1,... n (77)
undesgilt dann
En+1 ≥ En ≥ En−1 ≥ ... E1,
d.h.das VerfahrenliefertdieEnergienin aufsteigenderReihenfolge.
Beweis: Seien |n〉 die exakten Eigenzustände von H, En die zugehörigen
Energien
〈ψ|H|ψ〉 = ∑ n
≥ E1 ∑ n
¯H = 〈ψ|H|ψ〉
〈ψ|ψ〉
〈ψ|n〉〈n|H|ψ〉 = ∑En〈ψ|n〉〈n|ψ〉 n
〈ψ|n〉〈n|ψ〉 = E1〈ψ| ψ〉 (78)
≥ E1
undGleichheit gilt nur,wenn〈n|ψ〉 = 0für alle |n〉 mit En > E1.
⇒ dasMinimum wird durch den(odereinen)Grundzustandproduziert.
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