Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Ziel:
Untersuchung des Tunnelns für ein einfaches Modell (analytisch lösbar) –
rechteckigerPotentialwall.
LösungderSchrödingergleichungperAnsatz.
Dazu einige physikalischeÜberlegungen:
GebietI: Wellefalle von linksein, werdemit Anteil R reflektiert.
GebietIII:
ψ = ψe+ ψr
ψe(x,t) = e i(kx−ωt)
ψr(x,t) = Re i(−kx−ωt)
ψ d(x,t) = De i(kx−ωt)
Abkürzungen
k 2 = 2m
E 2
¯h
k0 2 = 2m
U 2
¯h
ω = E
¯h
einfallende Welle (29)
reflektierteWelle
durchgehenderAnteilderWelle (30)
GebietII: FormderWellenfunktionhängtdavonab,ob E > U oder E < U
E < U : ψII(x,t) = Ae κx +Be −κx e −iωt ,
κ = k0 2 −k2 (31)
E > U : ψII(x,t) =
Transmissionskoeffizient:T = |D| 2
A ′ e iκ′ x +B ′ e −iκ ′ x
e −iωt , κ ′ =
k 2 −k0 2
LösungderSchrödingergleichung:benützeStetigkeitsbedingungen
a) E < U
(32)
x = 0 : 1+R = A+B ψ stetig (33a)
ik(1−R) = κ(A−B) ∂xψ stetig (33b)
x = L : Ae κL +Be −κL = De ikL
Ae κL −Be −κL = ikDe ikL
κ
63
ψ stetig (34a)
∂xψ stetig (34b)