Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

(A hermitesch Eigenzustände bilden vollständiges System. (46) folgt
ausderVollständigkeitsrelation
1 = ∑|ψn〉〈ψn|+ da|ψa〉〈ψa| ;
n
das Integraloderdie Summe könnenauch ” leer“ sein,aber natürlich nicht
beide.)
Wenngilt:
sofolgt
A|ϕ〉 = a|ϕ〉, (47a)
A n |ϕ〉 = A n−1 a|ϕ〉 = A n−2 a 2 |ϕ〉 = ...a n |ϕ〉, (47b)
d.h.für in PotenzreihenentwickelbareFunktionen f(x) = ∑n fnx n gilt
f(A)|ϕ〉 = ∑ n
fnA n |ϕ〉 = ∑ n
fna n |ϕ〉 = f(a)|ϕ〉 (47c)
Allgemein kann man die Operatorfunktion f(A) (für hermitesche Operatoren)definierendurch
dieForderung
f(A)|ϕ〉 = f(a)|ϕ〉 wenn A|ϕ〉 = a|ϕ〉 (48)
DamitaberkönnenwirdankderEntwicklung(45)demformalenAusdruck
(44) einekonkrete Bedeutungbeimessen
wA(a) = ∑cn〈ψ| δ(A−a)|ψn〉 + da
n
δ(an −a)|ψn〉
′ c(a ′ )〈ψ| δ(A−a)|ψa ′〉
δ(a ′ −a)|ψ a ′〉
= ∑ δ(an −a)cn〈ψ|ψn〉
n
c∗
+ da
n
′ δ(a ′ −a)c(a ′ ) ψ
′
ψ a
c(a ′ ) ∗
wA(a) = ∑ n
|cn| 2 δ(an −a)+|c(a)| 2
(49)
Eine graphische Darstellung von wA(a) könnteetwafolgendermaßenaussehen:
δ-Peaks kontinuierlicheVerteilung
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