Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

andererseits
εijk Li,Lj = εijk(LiLj−LjLi) = εkij LiLj− εkij LjLi = 2 εkij LiLj
i↔j
in Vektorschreibweise:
ε kij LiLj = i¯hL k
L× L = i¯hL
Das heißt, hier haben wir einen quantenmechanischen (operatorwertigen)
Vektor, dessen Kreuzprodukt mit sich selbst ungleich Null ist, weil seine
Komponenten untereinander nicht vertauschen (hingegen gilt x× x = 0,
p× p = 0).
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Fassen wir die Kommutatorrelationen der Komponenten noch einmal zusammen,
sowohlin ausgeschriebenerals auch in symbolischer Form:
Li,Lj = i¯h εijk Lk Ly Lz−Lz Ly = i¯hLx
Lz Lx − Lx Lz = i¯hLy
Lx Ly −Ly Lx = i¯hLz
L× L = i¯hL
KomponentenundBetragsquadrat:
Li,L 2 = Li Lj Lj−Lj Lj Li
Esgilt also:
=⇒
= Li Lj Lj−Lj Li Lj+Lj Li Lj−Lj Lj Li
Lj+Lj
=
Li,Lj Li,Lj
= i¯h εijk LkLj+LjL k =ր i¯h εikj LjLk+i¯h εijk LjLk = 0
(hier habenwir fürdenerstenTerm
k in j umbenannt und j in k)
Li,L 2 = 0
L,L 2 = 0
Jede Komponente vertauscht mit dem Quadrat des Drehimpulsoperators,
aber dieKomponentenuntereinandervertauschennicht!
FürdieLösungdesEigenwertproblems
L 2 |ψ〉 = λ|ψ〉
kann also ein vollständiger Satz vertauschender Operatoren L 2 und eine
Komponente Li enthalten, nicht aber mehrere Komponenten. Traditionell
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