Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

setze l − p = m
Form
( p = l −m), und es ergibt sich die kanonische
(l+m)! L−l−m |l,m〉 =
|l,l〉
2l!(l −m)! ¯h
(46)
analog
(l−m)! L + l+m |l,m〉 =
|l,−l〉 (47)
(2l)!(l +m)! ¯h
und wir haben als definierende Beziehungen für die Zustände mit dem
niedrigstenunddemhöchstenEigenwertvon Lz
L − |l,−l〉 = 0 L + |l,l〉 = 0
Lz|l,−l〉 = −¯hl|l,−l〉 Lz|l,l〉 = ¯hl|l,l〉
insbesonderegilt
|l,−l〉 = 1
L− 2l! ¯h
|l,l〉 = 1
L +
2l! ¯h
2l
2l
|l,l〉
|l,−l〉
Die Operatoren L + bzw. L − heißen (aus offensichtlichen Gründen) auch
Leiteroperatoren.RekapitulierenwirdiePhilosophiedesVerfahrens.Nachdem
gezeigt wurde, dass die Eigenwerte von Lz zwischen einer unteren
undeineroberenSchrankeliegen,diedurchdendenEigenwertvon L 2 gegeben
sind, überlegt man sich, dass Anwendung von L + auf einen Eigenvektorvon
Lz einenEigenvektorzueinemum ¯herhöhtenEigenwertliefert.
Durch sukzessive Anwendung von L + könnte man also beliebig hohe Eigenwerteerhalten,wasaufeinenWiderspruchführt,wenndiesoerzeugte
Reihe von Eigenvektorennicht abbricht. Das tut sie genau dann, wenn ein
bestimmtermaximaler Eigenwerterreichtwird.Alleüberhauptmöglichen
sonstigen Eigenwerte müssen also um ein ganzzahliges Vielfaches von ¯h
kleiner sein als dieser maximale. Eine analoge Aussage erhält man durch
Betrachtungvon L − unddieBeschränkungderEigenwertenachunten.Alle
Eigenwerte müssen um ganzzahlige Vielfache (inklusive der Null) von
¯h uber dem minimal möglichen Eigenwert liegen. Damit können die Eigenwertenureine
” Leiter“ vomminimalen zummaximalenEigenwertmit
konstanten Abständen der Leitersprossen bilden. Das ist eine notwendige
BedingungfürdieEigenwerte.Zeigtmanzusätzlich,dassdiebetreffenden
Eigenvektoren auch alle auftreten (etwa, indem man ihre Normierbarkeit
beweist), dann ist die Bedingung auch hinreichend und man kann sicher
sein,dasEigenwertproblemvollständiggelöstzu haben.
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