Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

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zu denentartetenEigenwertenE = p2 2m von ˆH. Da ψp und ψ−p zu verschiedenen Eigenwerten von P gehören, ist in dem gemeinsamen Systemvon Eigenfunktionenvon ˆH und P, nämlich cos p p ¯h x, p ≥ 0; sin ¯h x, p > 0 ,die Entartungaufgehoben. Anmerkung:Dass P nurdie Eigenwerte±1hat,folgt aus P 2 |ψ〉 = |ψ〉 [gilt für jedeFunktion] und P 2 |ψ〉 = λ 2 |ψ〉 [gilt für jedeEigenfunktion] λ 2 = 1 2) freies Teilchenin 2D ˆH = ˆp2 x + ˆp 2 y 2m DieEigenwerte E = p2 x + p 2 y 2m sindfürE > 0unendlichfachentartet: i Eigenfunktionen: ϕpx,py (x,y) = e¯h (pxx+pyy) . Zum Eigenwert E gehören alle Eigenfunktionen, deren Parameter (px, py) einen Kreis mit Radius √ 2mE um denUrsprungbilden. Das sindebeneWellenmit gleichemBetragderWellenzahl,aber verschiedenenAusbreitungsrichtungen. VollständigerSatzvonOperatoren: ˆH, ˆpx, ˆpy [{ ˆH, ˆpx} allein reicht nicht aus, da ein Eigenwertpaar (E,px) die py- Komponente nur bis aufs Vorzeichen bestimmt; der Satz { ˆH, ˆpx} reduziert dieEntartungvon ∞fach auf zweifach]. 3) H-Atom VollständigerSatzvonOperatoren: ˆH, ˆL 2 , ˆLz, ˆSz Hierbei sind ˆLz die z-Komponente des Drehimpulses und ˆSz die des Spins,mit denwir unsvorläufig nicht beschäftigen. WennwirunsaufdenOrtsraumbeschränken,istderSatz ˆH, ˆL 2 , ˆLz vollständig–jedederEigenfunktionenistdannimOrtsraumeindeutig bestimmt. Berücksichtigt man noch den Freiheitsgrad des Elektronenspins, so zeigt sich, dass erst wenn jede dieser Eigenfunktionen mit einer von 114
zweiSpinwellenfunktionenmultipliziertwird,mandasProblemvollständig gelöst hat. Das bedeutet aber eine Erweiterung des Hilbertraums überdendurch dieEigenfunktionendesOrtsoperatorsaufgespanntenFunktionenraumhinaus.FürunsereZweckegenügtes,uns auf denspinlosenFall zu beschränken. 9.2.2 Vorgehenbei derLösungdesWasserstoffproblems Dass Beispiel 3) des vorhergehenden Absatzes richtig ist, müssen wir erst nochzeigen.DiesstellteinenTeilderLösungdesWasserstoffproblemsdar, beiderwir in folgendenSchrittenvorgehenwerden: i) BeweisderVertauschbarkeitvon ˆH und ˆL 2 und ˆLz ii) quantenmechanischeAufspaltungvon ˆp 2 iii) BestimmungderEigenwerteundEigenvektorenvon ˆL 2 iv) Aufstellen und Lösen einer eindimensionalen Schrödingergleichung für dieRadialkomponentederWellenfunktion ⇓ fertig! 9.2.3 Beweis der Vertauschbarkeit von Hamiltonoperator und Drehimpulsoperator DefinitiondesDrehimpulsoperators ˆL = ˆx× ˆp = −ˆp× ˆx (4) Istdiesmöglich,d.h.ist LeinhermitescherOperator?GiltdiezweiteGleichungauch für dieOperatoren ˆx und ˆp ? Zur Entscheidung der ersten Frage betrachten wir die KomponentendarstellungdesKreuzprodukts: wobei 29 ˆLi = ε ijk ˆxj ˆp k, (5a) ε ijk = ⎧ ⎪⎨ 1 wenn(i,j,k)eine geradePermutationvon (1,2,3) ist −1 wenn(i,j,k)eine ungeradePermutationvon (1,2,3) ist ⎪⎩ 0 sonst (5b) undüber wiederholteIndizessummiertwird. 29 εijk isteinantisymmetrischerTensor,wirdauchRiccischesSymbolgenannt,inkartesischen KoordinatenisteridentischmitdemLevi-Civita-Tensor. 115
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5.5.2 Erwartungswerte . . . . . . .
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1 AufgabengebietderQuantenmechanik
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2 Versagenderklassischen Physik 2.1
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Die BewegungsgleichungdesElektronsl
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2.4 Hohlraumstrahlung 2.4.1 Klassis
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Diese Ableitung soll in den Übunge
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ε(ω,T) = u(ω,T) = ω2 π 2 c 3
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für Frequenzen < ωA = A/¯h kann
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Wellenlängen: λ = c ν ❀ = 2πc
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3 Quantenverhalten-das ” einzige
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BeispielMittelachse: Weg gleich wei
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P12 ist nichtdie Summevon P1 und P2
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Schirmerhältlich? Messung des Impu
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4 Bohrsche Quantisierung 4.1 Bohrsc
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Umlaufzeit: qmax(E) τ = 2 qmin(E)
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kannman beideGrößen, an und ωn,s
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4.4 Erfolge undGrenzender älterenQ
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Also: Licht - k, ω gegeben =⇒ p,
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umschreiben: ψ(x,t) = 1 √ 2π¯h
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|ψ(x,t)| 2 = 1 √ e πξ(t) −(x
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5.4 Die Schrödingergleichung Gesuc
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Rechtfertigung:durch Vergleichmit E
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ii) unsereRegelnsindnicht eindeutig
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Falls also d 3 x ψ ∗ (x,0)ψ(x,
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p = Allgemein: F(p) = dp dx ′¯h
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|ψ(x,t)| 2 Wahrscheinlichkeitsdich
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KopenhagenerDeutung: i) DieBeschrei
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Wahrscheinlichkeitsdichte: w(x) =
Seite 59 und 60:
6 Eindimensionalezeitunabhängige P
Seite 61 und 62:
Schrödingergleichung: − ¯h2 2m
Seite 63 und 64:
zw. E = − ¯h2 2ma 2{(k0a) 2 −(
Seite 65 und 66:
Bei ∞ hohen Potentialwänden: ∞
Seite 67 und 68: Ziel: Untersuchung des Tunnelns fü
Seite 69 und 70: Dieslässt sich wiederdurch E undU
Seite 71 und 72: 6.6 Verhalten der Wellenfunktion in
Seite 73 und 74: E > Vmin =⇒ ∃ 2 klassischeUmkeh
Seite 75 und 76: iii) V(x → ±∞) = V±∞ a) E <
Seite 77 und 78: MankannetwadenZustandeinesklassisch
Seite 79 und 80: Gegenüberstellung: Vektorraum(3D)
Seite 81 und 82: entwickeln |ϕ〉 = ∑cj βj cj
Seite 83 und 84: DerGrenzübergang(3)lieferteinekont
Seite 85 und 86: linearer Operator: A(a|α〉+c|γ
Seite 87 und 88: Aψi ψj ai −aj ψi ψj =
Seite 89 und 90: Anmerkungen: 1) DerDirac-Notation(b
Seite 91 und 92: Nach der Messung der durch den Oper
Seite 93 und 94: = 〈ψ|(A− Ā)(B− ¯B)−(B−
Seite 95 und 96: Wenn wir ein freies Teilchen haben,
Seite 97 und 98: (A hermitesch Eigenzustände bilde
Seite 99 und 100: AB|ψn〉 = BA|ψn〉 = Ban|ψn〉
Seite 101 und 102: aber: Messungen geben keinen Zugrif
Seite 103 und 104: (Die Richtung A Erhaltungsgröße
Seite 105 und 106: EineMöglichkeit: Lösen des Eigenw
Seite 107 und 108: = bN|λ〉 −b|λ〉 = (λ−1)b|
Seite 109 und 110: Analogzu (17) zeigt man: (12) Zusa
Seite 111 und 112: 8.2 HarmonischerOszillator in derOr
Seite 113 und 114: Vergleichderklassischenundderquante
Seite 115 und 116: folgt,dassderDrehimpuls L ≡ x× p
Seite 117: VollständigistdersokonstruierteSat
Seite 121 und 122: Ferner ˆLi, ˆp 2 = ˆLi ˆp l ˆ
Seite 123 und 124: = − ˆp ˆx ˆx ˆr ˆr ˆp +
Seite 125 und 126: ˆL 2 hängt nur von den Winkelkoor
Seite 127 und 128: wählt man die Komponente Lz. Wir w
Seite 129 und 130: ii) m > 0 (40a) ⇒ mit l ≥ 0 l
Seite 131 und 132: setze l − p = m Form ( p = l −m
Seite 133 und 134: = ¯h −sin ϕ±icos ϕ i ±i
Seite 135 und 136: Für die Berechnung betrachten wir
Seite 137 und 138: Assoziierte Legendre- Funktionen: P
Seite 139 und 140: mit p 2 r = −¯h 21 r ∂ 2 r (20
Seite 141 und 142: ∑ ν ✘ −✘α ✘✘ 2 ρ l+
Seite 143 und 144: EinigeEigenschaften der Laguerre-Po
Seite 145 und 146: 9.4 Zusammenfassung 9.4.1 Energie,
Seite 147 und 148: Diskussion E = E n,l E = En Bedeutu
Seite 149 und 150: 10 Näherungsmethodenin derQuantenm
Seite 151 und 152: (iii) WKB-Verfahren nach Wentzel,Kr
Seite 153 und 154: in (10b): ∑ c l (1) ml ψ (0)
Seite 155 und 156: + ∑ l=n l=m + ∑ l=n H S nl HS l
Seite 157 und 158: ZweiteOrdnung: Falls ein wichtiges
Seite 159 und 160: wo |ϕnα(λ)〉 = |ϕnα(λ)〉
Seite 161 und 162: H0 = p2 2m − e2 4πε0r H S = eφ
Seite 163 und 164: E22 = E23 = E (0) 2 E24 = E (0) 2
Seite 165 und 166: ˙cm(t) = 1 i¯h ∑ n H S mn(t) e
Seite 167 und 168: ˆH S 1 ∞ m0 (ω) = − dt δ(t)
Seite 169 und 170:
P l→m(t) = |c (1) m (t)| 2 = |A m
Seite 171 und 172:
Pi→f(t) = Afi 2 4sin 2 Ef−Ei
Seite 173 und 174:
EskannnurdieEnergieaufgenommenbzw.a
Seite 175 und 176:
cn(−∞) = δ nl c (1) m (t) = 1
Seite 177 und 178:
Polarisation: P(t) = N¯p(t) = χε
Seite 179 und 180:
10.5 Variationsprinzip Das Eigenwer
Seite 181 und 182:
10.6 WKB-Methode(Wentzel-Kramers-Br
Seite 183 und 184:
Lösungen: Airyfunktionen = Lineark
Seite 185 und 186:
Diesist aber geradederTerm,derin (8
Seite 187 und 188:
= 1 2 ǫijk ǫjkm 2δim Bm = Bi
Seite 189 und 190:
|e| ¯h µB = 2m0 BohrschesMagneton
Seite 191 und 192:
in (20): e −if − ¯h2 2m ∇
Seite 193 und 194:
e − könnennicht in denBereichdes
Seite 195 und 196:
Gesamthilbertraum= tensorielles Pro
Seite 197 und 198:
Wasserstoff-ähnlichesAtom(Kernladu
Seite 199 und 200:
11.9 AnomalerZeeman-Effekt (H-Atom,
Seite 201 und 202:
11.10 Paschen-Back-Effekt (H-Atom,
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• ϕ (1) l ϕ (2) m einetwask
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Dann ist +sin ϑsin ϕ −isin ϑ
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Tendenz, im Bestreben sehr genau zu
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wobei P(a,b) = 〈ψ|(σ1·a)(σ2·
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Undeinesfür einenWinkelbereich: P(
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JederDetektorhateinen Schaltermit d
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Die Verdrahtung der Detektoren ist
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leuchtetdortdieroteLampeauf,beim Er
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