Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
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10.3 Zeitunabhängige Störungstheorie mitEntartung<br />
Entartung: zum Hamiltonoperator des ungestören Problems gibt es meh-<br />
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿<br />
rereEigenfunktionenmit demselbenEnergieeigenwert<br />
<br />
<br />
H0ψ<br />
(0)<br />
<br />
nα = E (0)<br />
<br />
<br />
n ψ (0)<br />
<br />
nα<br />
α = 1,2,... fn (25)<br />
Eigenvektorenzu verschiedenenEigenwertensindstetsorthogonal.<br />
Eigenvektorenzum selbenEigenwertkönnenorthogonalgewähltwerden.<br />
<br />
ψ (0)<br />
nα<br />
<br />
<br />
ψ (0)<br />
mβ<br />
GestörtesProblem:<br />
H = H0+ λH S<br />
(SchmidtschesOrthogonalisierungsverfahren)<br />
<br />
= δnm δαβ<br />
Entartungi.A.ganzoderteilweiseaufgehoben,d.h.<br />
(26)<br />
H|ϕnα(λ)〉 = Enα(λ)|ϕnα(λ)〉<br />
(27)<br />
↑<br />
auch <strong>von</strong> α abhängig<br />
also: Enα(λ) = E (0)<br />
n + λE (1)<br />
nα +... (28)<br />
analog StörungsrechnungohneEntartung<br />
Für die Eigenvektorenfunktioniert ein vergleichbarer Ansatz nicht, da die<br />
nullte Ordnungnicht eindeutigdefiniertist:<br />
<br />
<br />
|ϕnα(λ)〉 = + λ +... (29)<br />
ψ (0)<br />
nα<br />
ψ (1)<br />
nα<br />
↑ <br />
<br />
Welches ψ (0)<br />
<br />
nα sollteman hier nehmen?Esstehen<br />
verschiedeneLinearkombinationen<br />
<br />
<br />
fn<br />
∑<br />
β=1<br />
cn αβψ<br />
(0)<br />
nβ<br />
zur Verfügung,diealle Eigenvektorenzu E (0)<br />
n sind!<br />
Nach Aufhebung der Entartung, also für λ = 0, sind die Eigenvektoren<br />
eindeutig;dann aber istauch derGrenzwertfür λ → 0eindeutig:<br />
lim<br />
λ→0 |ϕnα(λ)〉<br />
<br />
<br />
= ϕ (0)<br />
<br />
nα<br />
(30)<br />
Dieser Grenzwert kann<br />
<br />
aber verschieden sein <strong>von</strong> einer ursprünglich ge-<br />
<br />
<br />
<br />
troffenenWahl in(29).ZunächstsindalsodieseEigenvektoren<br />
ψ (0)<br />
nα<br />
zu finden,diezum Störoperator HS passen.<br />
<br />
<br />
: adaptierteEigenvektoren<br />
ϕ (0)<br />
nα<br />
154<br />
ϕ (0)<br />
nα
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