Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

8 Derharmonische Oszillator(1D)
8.1 Dasallgemeine quantenmechanischeProblem
wichtigstesEinteilchensystemderQuantenmechanik,vielleichtderganzen
Physik
Hamiltonoperator:
ˆH = H(ˆp, ˆx) = ˆp2 mω2
+
2m 2 x2
[ˆp, ˆx] = ¯h
i
Schrödingergleichung:
i¯h ˙
|ψ〉 = ˆH|ψ〉 (3)
ZeitunabhängigeSchrödingergleichung:
oder
ˆH|ψn〉 = En|ψn〉
ˆH|n〉 = En|n〉 (4)
(Zur Kennzeichnung des Eigenzustands genügt es, seine Nummer n oder
auch denEigenwertselbstin denbra- oderket-Vektorzu schreiben.)
LösungderzeitabhängigenSchrödingergleichung:
|ψ(t)〉 = ∑ n
i −
cne ¯h Ent
|n〉 mit cn = 〈n|ψ(0)〉 (5)
Beweis: entwickle zunächst |ψ(0)〉 = ∑ncn|n〉 cn = 〈n|ψ(0)〉 dann
benützeformale Lösung
i −
|ψ(t)〉 = e ¯h ˆHt
|ψ(0)〉 = ∑
n
i −
cne ¯h ˆHt
|n〉 = ∑
n
i −
cne ¯h Ent
|n〉
Da wir das Anfangswertproblem zeitabhängige Schrödingergleichung lösen
können, wenn wir alle Lösungen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung
haben, ist unser nächstes Ziel die Lösungder zeitunabhängigen
Schrödingergleichung.
100
(1)
(2)