Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

5.4 Die Schrödingergleichung
Gesucht: eine Wellengleichung für Materiewellen (partielle Differentialgleichungin
x und t)
5.4.1 Freies Teilchen
1D-Fall [derEinfachheit halber]
Ableitungenvon ψ(x,t):
¯h
i
∂
∂x
freiesTeilchen:
ψ(x,t) = 1
∞
√
2π¯h −∞
¯h ∂ 1
ψ(x,t) = √
i ∂x 2π¯h
2 ψ(x,t) = 1
√
2π¯h
dpg(p,t)e i
¯h px
∞
dppg(p,t)e
−∞
ī hpx ∞
dpp
−∞
2 g(p,t)e ī hpx i −
g(p,t) = e ¯h E(p)t i −
g(p) = e ¯h
∞
i¯h ∂ i¯h
ψ(x,t) = √
∂t 2π¯h
(a), (b) i¯h ∂ψ
∂t
= 1
√
2π¯h
= 1
√
2π¯h
−∞
∞
−∞
∞
−∞
p2 2mt g(p)
dp ∂
∂t g(p,t)ei ¯h px
dpi¯h − i
E(p)g(p,t)e
¯h
i
¯h px
dp p2 i
g(p,t)e ¯h
2m px
2 1 ¯h ∂
= ψ = −
2m i ∂x
¯h2 ∂
2m
2ψ ∂x2 Schrödingergleichungeinesfreien Teilchens
5.4.2 BedingungenandieWellengleichung
(a)
(b)
(22)
Solange wir nur das freie Teilchen als Welle beschreiben können, sind an-
dere Gleichungen als (22) denkbar. Wegen E 2 = p4
(2m) 2 genügt ψ(x,t) auch
derGleichung
−¯h 2 ∂2ψ ¯h4
=
∂t2 (2m) 2
∂4ψ ∂x4 WaszeichnetdieSchrödingergleichunggegenüberdieseralternativenGleichungaus?
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