Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Dabei kennzeichnet der Index h den hermiteschen Anteil des Operators
L× p. 34 In der Literatur wird der lenzsche Vektor i.A. mit dem entgegengesetztenVorzeichengeschrieben.DannweistervomKraftzentrum(einem
BrennpunktderEllipse) zum Perihel.Mit unsererDefinition zum Aphel.
DerklassischelenzscheVektoristparallel zurgroßenHalbachse derBahnellipse.
Seine Erhaltung bedeutet,dass die Bahnellipse ihre Lage im Raum
nicht ändert. Kleine Störungen führen zu Perihel- oder Periastrondrehungen.
Analog führen kleine Störungen des Potentials beim Wasserstoffproblem
zur Aufhebungderzufälligen Entartung.
Eine vergleichbare zufällige Entartung liegt beim dreidimensionalen harmonischenOszillator
vor:
H = p2
mω2
+V(r) V(r) =
2m 2 r2
H = H1+H2 +H3 En = ¯hω n1+n2+n3+ 3
2
= ¯hω 2nr +l+ 3
2
Auch hier sind die klassischen Bahnen Ellipsenbahnen 35 und es gibt eine
zusätzliche Erhaltungsgröße,denTensor
T ik = 1
2m pip k + mω2
2 xix k
(∗) Entartung von Niveaus zu l = 0, l = 2, l = 4,... bzw. l = 1, l =
3, l = 5,...
Zwecks Aufhebung der m-Entartung muss man die Kugelsymmetrie des
Problems stören.Sie bliebe also erhalten, wenn zum Potential eine rein radialsymmetrischeFunktionaddiertwürde.
34 Der” Sicherheit“ halber hingeschrieben. Ist h nötig?
35 Allerdings ist das Zentrum des Kraftfelds nicht der Brennpunkt sondern der Mittelpunkt
derEllipsen.
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(∗)