Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Rechenregeln:
A † †
= A
(AB) † = B † A †
(aA) † = a ∗ A †
(a komplexeZahl)
Wir nehmen im Folgenden an, dass der Definitionsbreich eines Operators
derganze Hilbertraum H sei.
DerBeweisderRechenregelnerfolgtüberdieEigenschaftendesSkalarprodukts:
für beliebige |α〉,|γ〉 gilt
〈γ|A|α〉 = αA
†
∗
γ = γ(A
† ) †
∗∗
α = γ
(AB) †
γα
= 〈γ|AB|α〉 = A †
γBα
= B † A †
γα
γ(aA)
†
α = 〈aAγ| α〉 = a ∗ 〈Aγ|α〉 = a ∗
γA
†
α
Hermitesche oderselbstadjungierte Operatoren
definierendeEigenschaft: 17
(A † ) †
α
= 〈γ|a ∗ A † |α〉
A † = A (14)
Eigenschaften:
i) Erwartungswertesindreell
Beweis:
〈α|A|β〉 = βA
†
α
〈α|A|α〉 = αA
†
α
ii) Eigenwertesindreell
Beweis:
〈ψ|A|ψ〉
reell
⇒ a reell
A|ψ〉 = a|ψ〉
= a〈ψ| ψ〉
reell=0
∗
∗
= 〈α|A|α〉 ∗
iii) Eigenzuständezu verschiedenenEigenwertensindorthogonal
Beweis:
〈ψi| A
ψj =
↓=
ψi
Aψj = ψi
ajψj = aj ψi
ψj 17 Das bedeutetneben(13),dassdieDefinitionsbereichederbeidenOperatorengleichsind.
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