Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Rechtfertigung:durch Vergleichmit Experimenten
[Das isteinallgemeinesPhänomen:neueNaturgesetzesindnicht ableitbar,
siemüssenerratenwerden.Alleswasdeduktivabgeleitetwerdenkann,ist
offenbar in denalten Naturgesetzenbereitsenthalten.]
FreiesTeilchen,1D:
H(x,p) = p2
2m
Schrödingergleichung:
i¯h ∂ψ
∂t
2 1 ¯h ∂
= ψ
2m i ∂x
d.h., auf der rechten Seite steht vor ψ ein Operator ˆH, den man aus der
Hamiltonfunktionerhält, indemman p durch denImpulsoperator
ersetzt:
ˆp = ¯h ∂
i ∂x
ˆH = H
x, ¯h
i
∂
= −
∂x
¯h2
2m
∂ 2
∂x 2
(23)
(24)
i¯h ∂ψ
∂t = ˆHψ (25)
Verallgemeinerungen:
a) Teilchenim PotentialV(x)
H(x,p) = p2
2m +V(x)
i¯h ∂ψ(x,t)
∂t
= H
[selbesRezept]
b) dreiDimensionen
px → ¯h
i
x, ¯h
i
∂
∂x , py → ¯h
i
∂
ψ(x,t) = −
∂x
¯h2
2m
∂
∂y , pz → ¯h
i
∂
∂z
∂2 ψ(x,t)+V(x)ψ(x,t) (26)
∂x2 p → ˆp = ¯h
∇ (JordanscheRegel) (27)
i
[Vektoroperator]
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