Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

❀ diegesamteInformation über w(x) istin Fx(α) enthalten.
Existieren alle Momente x n der Verteilung, so beinhaltet deren Kenntnis
ebenfalls diegesamteInformationüber dieVerteilung.Esistaber möglich,
dassMomentedivergierenFx(α)existierttrotzdem,dennmit w(x)dxexisitiertauch
e iαx w(x)dx.
Wir könnennun die charakteristischeFunktion FA(α) einführen, die zu einembeliebigenhermiteschenOperator
A gehört:
FA(α) ≡ ψe
iAα
ψ
An
d
n
= ψ
diα
e iAα
α=0
ψ
(41)
(42)
Die Wahrscheinlichkeitsdichte wA(a) derMesswertevon A in Zustand|ψ〉
ist alsodie inverseFouriertransformiertevon(41):
∞
wA(a) = 1
e
2π −∞
−iaα FA(α)dα = 1
2π
= ψ
1 ∞
e
2π
i(A−a)α
dα
ψ
−∞
∞
−∞
e −iaα
ψ
e iAα
ψ dα
(43)
wA(a) = 〈ψ|δ(A−a)|ψ〉 = δ(A−a) (44)
Die Wahrscheinlichkeitsdichte eines Operators A ist also der Erwartungswerteiner
δ-Funktion,derenArgumentdieDifferenzausdiesemOperator
und der Stelle ist, an der die Wahrscheinlichkeitsdichte bestimmt werden
soll.LetzereentsprichtentwedereinemEigenwertvon A,dennerhältman
(normalerweise)einendlichesErgebnis,oderdieWahrscheinlichkeitsdichteverschwindetan
dieserStelle.
Gleichung(44) isteinformalesErgebnis.Damit esBedeutunginderPraxis
gewinnt,mussmanesauswertenkönnen.FolgendeVorgehensweisebietet
sichan:ManentwickledenZustandsvektornachEigenvektorenvon A.Die
allgemeinsteFormeinersolchenEntwicklunglautet:
|ψ〉 = ∑ n
cn|ψn〉+
c(a)|ψa〉da (45)
Die Summe läuft überalle diskretenEigenzuständevon A.
Das Integral erstreckt sich über alle zum kontinuierlichen Teil des
SpektrumsgehörigenZustände.
Fernergilt:
cn = 〈ψn|ψ〉 c(a) = 〈ψa|ψ〉
〈ψn|ψm〉 = δnm 〈ψa|ψ a ′〉 = δ(a−a ′ ) 〈ψn|ψa〉 = 0
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(46)