Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

11.5 ÄnderungderWellenfunktionbeieinerEichtransformation
Klassische Physik: Lorentzkrafthängtvon B ab, nicht von A
Quantenmechanik: Schrödingergleichungenthält A
ReagierengeladeneTeilchennun auf B oder A?
Eichtransformation
A → A ′ = A+∇Λ Φ ′ = Φ− ∂Λ
∂t
Schrödingergleichungin ersterEichung
Setze
1
2m
(17)
¯h
i ∇−eA
2
+eΦ ψ(x,t) = i¯h ∂
ψ(x,t) (18)
∂t
ψ(x,t) = e −if(x,t) ψ ′ (x,t) (19)
undschreibe(18) aufdiezweiteEichungum(A = A ′ −∇Λ, Φ = Φ ′ + ∂Λ
∂t )
1 ¯h
2m i ∇−eA′ 2 +e(∇Λ) +eΦ ′ +e ∂Λ
e
∂t
−if ψ ′ (xt)
= i¯h ∂
∂t e−if ψ ′ (xt)
¯h
i ∇−eA′ 2 +e(∇Λ) = −¯h 2 ∇2 + ¯h
i ∇−eA ′ +e∇Λ
+ −eA ′ +e∇Λ ¯h
i ∇+−eA ′ +e∇Λ 2 ′ 2
−e(∇A )+e∇ Λ
= −¯h 2 ∇ 2 + ¯h
i
+2 −eA ′ +e∇Λ ¯h
i ∇+−eA ′ +e∇Λ 2 ∂
∂t e−if ψ ′ = −ifte −if ψ ′ −if ∂
+e
∂t ψ′ = e −if
−i ∂f
∂t ψ′ + ∂ψ′
∂t
∇e −if ψ ′ = e −if
(−i∇f)ψ ′ +∇ψ ′
∇ 2 e −if ψ ′ = e −if
−i∇f) (−i∇f)ψ ′ +∇ψ ′
+e −if
−i(∇2 f)ψ ′ −i∇f∇ψ ′ +∇2 ψ ′
= e −if
−(∇f) 2 ψ ′ −2(i∇f)∇ψ ′ −i(∇2 f)ψ ′ +∇2 ψ ′
186
(20)