Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

folgt,dassderDrehimpuls
L ≡ x× p = x×m˙x
eineKonstantederBewegungist
˙L = d
(x×m˙x) = ˙x×m˙x +x×m¨x = x×
dt
0
x
−
r
0
dV
dr
⇒ ˙L = 0
Deshalbistesnützlich, diekinetischeEnergiewie folgtaufzuspalten:
2mEkin = p 2 = pr 2 + 1
r2L2 pr = xp
r = er · p = er ·(m˙r) = m˙r [˙r = ˙rer + orthog.Vekt.]
L 2 (x× p)2
=
r2 r2 = x2
r2 p2− xp
r
2
= p 2 − pr 2
(a×b)·(c×d) = (ac)(bd)−(ad)(bc) : LaplacescheIdentität 28
Dann lässt sich nämlich die Bewegungsgleichung auf die eines eindimensionalenProblems
reduzieren:
H = 1
2 m ˙r2 + 1
2mr2L2 +V(r) = E = const.
Veff(r) L = const.
Diese Differentialgleichung erster Ordnung - der Energiesatz - lässt sich
grundsätzlich lösen. Das effektive Potential V eff(r) hängt dabei natürlich
vom vorgegebenenDrehimpuls ab.
9.2 QuantenmechanischeBewegungimzentralsymmetrischenPotential
Auch im quantenmechanischen Fall ist der Drehimpuls eine Erhaltungs-
größe.Dasbedeutet,dassdieOperatoren ˆLund ˆL 2 mit demHamiltonoperatorkommutieren:
ˆH, ˆL = 0 (1)
ˆH, ˆL 2
= 0 (2)
28Der Beweis der laplaceschen
Identität
ist im Tensorkalkülsehr einfach: (a×b)·(c×d) =
εijkεilma jbkcldm = δjlδkm − δjmδkl ajbkcldm = ajcjbkdk −ajd jbkck = (ac)(bd)−(ad)(bc).
Sind die Vektorenkeine klassischen Größen, d.h. vertauschen sie nicht miteinander, liefert
der Tensorkalkül immer noch eine gültige Formel – man muss nur die Reihenfolge der
Komponenten von a, b, c und d nach dem zweiten Gleichheitszeichen beibehalten. Das Ergebnislässtsichdann
i.A.nicht mehrineinfacher Weisevektoriellschreiben.
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