Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Fordern wir 〈ψ|ψ1〉 = 0, so ist die in der Summe über die En auftretende
kleinste Energie E2 (angeregter Zustand, falls nur ein Grundzustand existiert,d.h.|ψ1〉
= |1〉,ansonstenist E2 = E1)
usw.
H ≥ E2
RitzschesVariationsprinzip: Manwähle|ψ(µ)〉 alsFunktioneinesbzw.mehrerer
Parameter µ (d.h. man lege sich auf eine funktionale Form der Wellenfunktionfest)undsuchedasMinimum
von
E(µ) = 〈ψ(µ)|H|ψ(µ)〉
〈ψ(µ)| ψ(µ)〉
(79)
E(µ) ≥ E1 und man erhält einen Näherungsausdruck für die Wellenfunktion.
Da die Orthogonalitätsbedingungen (77) bei einer nur näherungsweisen
LösungdesVariationsproblems nicht mehr Orthogonalität zu denexakten
Eigenfunktionen implizieren, ist das Ritzsche Verfahren im Wesentlichen
gut geeignet zur näherungsweisen Bestimmung des Grundzustands. (Für
diehöherenEigenzuständeistesschlechter.)
PraktikabelwirddasVerfahrenalsodurchdieWahlvonAnsatzfunktionen,
die von wenigenParametern abhängen. Je mehrParameter man hat, desto
genauer wird die Näherung, aber desto komplizierter wird auch die Minimierung
(die sich beieinem einzigen Parameter durch eine gewöhnliche
Ableitungerzielenlässt).BeifunktionalerMinimierung(entsprichtderMinimierungbezüglichunendlichvielerParameter)löstmandasProblemexakt
–aber dasistnicht einfacher als die LösungderSchrödingergleichung.
Ein Fehler in der Wellenfunktion äußert sich bei diesem Verfahren in quadratischerOrdnungin
derEnergie.
SeietwadieAnsatzfunktion
|ψ〉 = |n〉+|ε〉 mit (o.B.d.A.) 〈n|ε〉 = 0
(da die Ansatzfunktion nicht normiert sein muss, kann jeder
zu |n〉 proportionale Anteil von |ε〉 direkt |n〉 zugeschlagenwerden)
¯H = 〈ψ|H|ψ〉
〈ψ|ψ〉 = En 〈n|n〉+〈ε|H|ε〉
= En+O
〈n|n〉+〈ε| ε〉
ε 2
Die Energie wird beim Variationsprinzip also genauer bestimmt als die
Wellenfunktion.
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