Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

linearer Operator:
A(a|α〉+c|γ〉) = aA|α〉+cA|γ〉 ∀|α〉,|γ〉 ∈ H, a,c ∈ C
Beispiele: Ortsoperator,Impulsoperator,Hamiltonoperator
Paritätsoperator Pϕ(x) = ϕ(−x)
SummeundProduktvonOperatorenwurdenbereitsimZusammenhangmit
derSchrödingergleichungangesprochen(Kap. 5.4.3)
(A+B)|α〉 = A|α〉+B|α〉 = |Aα〉+|Bα〉
AB|α〉 = A|Bα〉 = |ABα〉
Kommutator[sehrwichtigerBegriff]:
[A,B] ≡ AB−BA (11)
hermiteschkonjugierteroderadjungierterOperator:
〈γ| A|α〉 ≡ 〈¯γ|α〉 fürbeliebige|α〉 (12)
dannist derzu A adjungierteOperator A † definiertdurch 15
A † |γ〉 = |¯γ〉
Formal
〈γ|A|α〉 = A †
γα
∀|γ〉,|α〉 ∈ H. (13)
Genauer müsste man die Menge der |γ〉 auf den Definitionsbereich des
Operators A † unddieMengeder|α〉aufdenDefinitionsbereichvon Aeinschränken.
Nicht jeder Operator liefert nach Anwendung auf einen beliebigenHilbertraumvektorwiedereinenlegitimen
Hilbertraumvektor. 16
Alternativ:
〈γ|Aα〉 = A †
γα
= αA
† γ
〈γ|A|α〉 = αA
†
∗
γ
∗
A † wirktim dualen Raum H ∗ sowie A in H
〈¯α| = 〈α| A † = 〈Aα|
(13’)
15 Dass eineinzigerVektor 〈¯γ| existiert,dereine solche Gleichung erfüllt,istnatürlich etwas,
das man erstmal beweisen müsste. Das überlassen wir aber den Mathematikern. (RieszscherDarstellungssatz.)
16 Wird zum Beispiel die n-te Potenz des Ortsoperators auf eine Wellenfunktion angewandt,
die im Unendlichen wie 1/x 2 abfällt, so ist die neue Wellenfunktion für n ≥ 2 nicht mehr
quadratintegrabel.
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