Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Aus (2) folgt, dass in der Komponente ˆLi nur verschiedene Indizes j und k
auftreten,undwegen
ˆpjˆx k− ˆx k ˆpj = ¯h
i δ jk
kommutierendiebetreffendenOrts- undImpulskomponenten.
Das aber heißt,dass
†
ˆxj ˆp k = εijk ˆp kˆxj = εijk ˆxj ˆp k = ˆLi, (6)
ˆL † i = ε ijk
also ist ˆLi (unddamit ˆL) einhermitescherOperator.
Ferner können wir im Kreuzprodukt ˆx und ˆp wie Vektoren aus c-Zahlen
behandeln,esgilt also auch
ˆx× ˆp = −ˆp× ˆx
Dass ˆLi mit jeder Funktion von ˆr vertauscht, beweist man am einfachsten
in derOrtsdarstellung:
ˆLi, f(ˆr)
¯h ∂
= εijk xj , f(r)
i
und ∂r
∂x k
=⇒
in (7)
Ortsdarst.
= ¯h
i ε ijk xj
∂x k
∂
∂x k
f(r)
f ′ (r) ∂r
∂x k + f(r) ∂
∂x k
= ∂
x1
∂xk 2 +x2 2 +x3 2 =
ˆLi, f(r) = ¯h
i
−f(r) ∂
=
∂xk ¯h
i εijk xj f ′ (r) ∂r
∂xk f ′ (r)
εijk xj xk =
r
¯h
i
1
✁2 x1 2 +x2 2 +x3 2 · ✁2x k = xk r
f ′ (r)
r
(7)
(x×x) i = 0, (8)
denn ε ijk xj x k ist die i-te Komponentedes Vektors x× x, also des Nullvektors.
Alternative (undbessere)Argumentation: 30
εijk xj xk = −εikj xj xk = −εikj xk xj = −εijk xj xk, =⇒ 2ε ijk xj x k = 0
vertauscheIndi-
zes j und k
Wir haben also:
ˆLi,V(ˆr) = 0 (9)
30 BesseristdieseArgumentation,weilinderQuantenmechanik,wiewirnochsehenwerden,
nicht allgemeingilt A× A = 0.
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