Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

AndereDifferentialdarstellungen:
ˆpr = ¯h 1
i r
ˆpr 2 = −¯h 21
Kommutatorrelation
Beweis:
[ˆpr,ˆr] = ¯h
i
ˆprˆr− ˆrˆpr =
∂
r (19)
∂r
¯h 1
i r
Ortsdarst.
r
∂ 2
∂r 2r
∂
∂r r2 − ¯h
i
r 1
r
1
∂
∂r r
= ¯h
i 2+
¯h ∂ ¯h
r −
i ∂r i −
¯h ∂
r
i ∂r
= ¯h
i
Nachdemwir ˆp 2 korrektineinenAnteildesRadialimpulsesundeinendes
Drehimpulses zerlegt haben, können wir den Hamiltonoperator entsprechendzerlegen:
(20)
(21)
ˆH = ˆp2 r 1
+
2m 2mˆr 2 ˆL 2 +V(ˆr) (22)
Für ˆpr haben wir bereits einen Ausdruck in der Ortsdarstellung [Glei-
chung(19)], jetztsuchenwir einenfür ˆL 2 .
Die einfachste Methode ist es, den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten
auszudrückenunddiebekanntedifferentielle Formvon ˆp 2 r zu benützen:
ˆp 2 = ˆp 2 r + 1
ˆr 2 ˆL 2 ! = −¯h 2 ∆ (23)
∆= ∂2 2 ∂ 1
+ +
∂r2 r ∂r r2
1 ∂ ∂ 1
sin ϑ +
sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ sin2 ∂
ϑ
2
∂ϕ2
(24)
(s. etwaBronstein)
(23) und (24) ⇒ −¯h 2
2 ∂ ∂2
+
r ∂r ∂r2
+ 1 2
ˆL
r2 = −¯h 2
∂2 2 ∂
+ −
∂r2 r ∂r
¯h2
r2
1 ∂ ∂ 1
sin ϑ +
sin ϑ ∂r ∂ϑ sin2 ∂
ϑ
2
∂ϕ2
Daraus erhalten wir unmittelbar
ˆL 2 =
Ortsdarst.
¯h
2
1 ∂
i sin ϑ ∂ϑ
∂ 1
sin ϑ +
∂ϑ sin2 ϑ
120
∂2 ∂ϕ2
(25)