Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Wirwerdendasnochexplizitzeigen,wollenaberzunächstdieKonsequenzen
diskutieren.
Wir möchtendiezeitunabhängige Schrödingergleichung
lösen,wobei:
ˆH|ϕn〉 = En|ϕn〉 (3a)
ˆH = ˆp2
2 ˆpr
+V(ˆr) =
2m 2m
2
ˆL
+ +V(ˆr). (3b)
2mˆr 2
Nun wissen wir, dass zwei hermitesche Operatoren, die vertauschen, ein
gemeinsames System von Eigenvektoren besitzen. Das legt eine Strategie
zur VereinfachungderLösungvon(3) nahe:man lösezuerstdas Problem
ˆL 2 |χ〉 = λ|χ〉
undsetzedanndieLösungdesvollenProblemsalsLinearkombinationvon
Eigenvektoren von ˆL 2 zum selben Eigenwert an. Gleichung (3) reduziert
sich dann auf daseinfachere (eindimensionale) Problem
ˆpr ˆH| ˜χ〉 =
2
2m
λ
+ +V(ˆr) |˜χ〉 = E| ˜χ〉
2mˆr 2
ManhatalsodieLösungeinesProblemsauf diezweiereinfachererProbleme
reduziert.
Offensichtich haben wir hier eine allgemeine Strategie entdeckt, die wir etwas
genauerausformulieren wollen.
9.2.1 VollständigerSatz vertauschbarer Operatoren
Wesentliches Element dieser allgemeinen Strategie ist die Suche nach einem(minimalen)vollständigenSatzvertauschbarerhermitescherOperatoren,der
denHamiltonoperatorenthält.
Washeißtdas?
Wir wissen, dass, wenn zwei hermitesche Operatoren vertauschen, sie ein
gemeinsames vollständiges System von Eigenfunktionen besitzen. Tritt in
diesemSystemnoch Entartungauf, d.h.gibt es mehrere linear unabhängige
gemeinsame Eigenvektoren,die für beide Operatoren zu je einem Eigenwert
gehören, so kann man einen dritten Operator finden, der mit beiden
vertauscht und diese Entartung aufhebt oder reduziert. Ist dann noch immer
Entartung vorhanden, d.h. existieren mehrere l. u. Eigenfunktionen,
die für alle drei Operatoren zu nur einem Eigenwert gehören, so kann
maneinenviertenOperatorfinden,dermitallendreivorhergehendenvertauschtunddie
Entartungreduziert,etc.
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