Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

7 Formalismus derQuantenmechanik
Ortsdarstellung
Impulsdarstellung
zwei äquivalente Darstellungen derQuantenmechanik
(dieunsbisherbekanntsind)
Vermutung: ∃ übergeordneteallgemeineFormulierungderQM,diediese
beidenals Spezialfälle enthält
Im Prinzip reicht das bisher erarbeitete Handwerkszeug aus, die meisten
quantenmechanischen Probleme technisch zu lösen. D.h. man kann in der
Ortsdarstellung Energieeigenwerte und Erwartungswerte bestimmen. Es
zeigt sich, dass es vorteilhafter ist, die Theorie auszubauen. Zur BerechnungmancherErwartungswerteistesgarnichtnötig,dieexpliziteLösung
derSchrödingergleichungzukennen.WichtigersinddieEigenschaftender
den physikalischen Größen zugeordneten Operatoren, sprich ihre Vertauschungsrelationen.
Esistdannnützlich,eineallgemeineSchreibweiseeinzuführen,beiderdie
expliziteFormderWellenfunktiongarnichtmehrsichtbarwird;diesewird
gelegentlichals darstellungsfreibezeichnet.
wichtig: Operatoren,Vertauschungsrelationen
darstellungsfreieSchreibweise–keineexpliziteFormderWellenfunktion
Beispielharmonischer Oszillator:
ohneKenntnisderFormderWellenfunktionim Ortsraumberechenbar
• Erwartungswerte
• Eigenwertspektrum
• w(x) = ϕ ∗ (x)ϕ(x) im Grundzustand
❀ manchmal ist es vorteilhaft, spät oder gar nicht zu einer spezifischen
Darstellungüberzugehen
vergleichbar: Vektorrechnung
a Komponenten ax,ay,az
b Komponenten bx,by,bz
c = a+b : Komponenten cx = ax +bx
cy = ay +by
cz = az +bz
Im Prinzip ist keine Vektorschreibweise notwendig, man kann immer mit
Komponentenrechnen.
aber: die Vektordarstellung hat Vorteile (z.B. Unabhängigkeit vom Koordinatensystem)
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