Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

σx, σy + = σxσy + σyσx = 0 +zyklisch vertauschteRelationen
σxσy = iσz
σxσyσz = i·1
Spσx = Spσy = Spσz = 0
det σx = det σy = det σz = −1
+zyklisch vertauschteRelationen
Hamiltonoperator in einem räumlich konstanten Magnetfeld (ohne Spin-
Bahn-Wechselwirkung)
H = p2
2m +V(x)+µB
L
+ σ ·B (36)
¯h
Schrödingergleichung
i¯h ∂
|ψ〉 = H|ψ〉 (37)
∂t
wird in derOrts-Komponenten-Darstellung
i¯h ∂
ψ + (x,t)
∂t ψ−
= −
(x,t)
¯h2
2m ∇2 +V(x)+ µB
¯h L·B
ψ + (x,t)
+ µBσB
ψ−
(x,t)
(nichtrelativistische) Pauli-Gleichung
11.8 Relativistische Effekte
(38)
relativistische Korrekturen = Feinstrukturkorrekturen der Energieeigenwertedes
H-Atoms(undanderer)
i) relativistische kinetischeEnergie
ii) Spin-Bahn-Kopplung
iii) Darwin-Term
Hier betrachten wir nur die erstenbeiden Effekte näher; der Darwin-Term
ist eine Folge der aus der Dirac-Gleichung zu schließenden ” Zitterbewegung“
des Elektrons (und der daraus resultierenden Wechselwirkung mit
dem Atomkern); er ist nur für s-Zustände von Null verschieden und proportional
zur vierten Potenz der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante
α = e2
4πε0¯hc .
11.8.1 Relativistische kinetische Energie
E =
p 2 c 2 +m 2 0 c4 = m0c 2 + p2
2m0
192
− 1
8
(p2 ) 2
m3 +··· (39)
0c2