Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

VollständigistdersokonstruierteSatzvertauschbarer Operatorendann,wenn
keine Entartung mehr in dem System gemeinsamer Eigenfunktionen auftritt,
d.h. wenn zu zwei linear unabhängigen Eigenfunktionen für wenigstens
einenderOperatorenzweiverschiedeneEigenwertegehören.
InteressantistderFalleinesminimalenvollständigenSatzesvertauschender
Operatoren,d.h.einesvollständigenSatzes,beidemmankeinenOperator
weglassenkann,ohnewenigstensfüreinenSatzvonEigenwertenallerverbleibendenOperatorenEntartungzu
erhalten(d.h.mindestenszweilinear
unabhängige Eigenvektoren). Wir werden den Begriff ” vollständiger Satz
vertauschenderOperatoren“ inderRegelsogebrauchen,dasswirautomatischeinenminimalen
Satzmeinen.
Beispielezur Veranschaulichung:
1) freiesTeilchen in 1D: ˆH = ˆp2
2m
EigenwerteE = p2
2m
sindfür p = 0zweifach entartet
Eigenfunktionenin derOrtsdarstellung
p
i
ϕp(x) = e ¯h x
p
−i
ϕ−p(x) = e ¯h x
VollständigerSatzvon vertauschendenOperatoren:
ˆH, ˆp
Löst man hier das Eigenwertproblem für ˆp, so hat man schon die
Lösungderzeitunabhängigen Schrödingergleichung.
Das ist nicht immer so. Führen wir den Paritätsoperator P ein, der in
derOrtsdarstellungdurch
Pϕ(x) = ϕ(−x)
definiertist,sobilden auch
ˆH,P
einen(vollständigen)SatzvonvertauschendenOperatoren(da ˆH gar
nicht von ˆx abhängt).
Die Gleichung P|ψ〉 = λ|ψ〉 hat als Lösungen die symmetrischen
Funktionen, ψ(x) = ψ(−x),zumEigenwert1,unddieantisymmetrischen,
ψ(x) = −ψ(−x),zum Eigenwert-1.
Diese Eigenwerte sind beide unendlichfach entartet, und es ist klar,
dass die Schrödingergleichung nicht etwa von jeder symmetrischen
Funktion gelöst wird. Aber wir können, wegen der Vertauschbarkeit
von ˆHundP,jedeLösungalssymmetrischoderantisymmetrischauffassenunderhaltenfür
p = 0
ψp(x) = cos p
¯h x ψ−p(x) = sin p
¯h x
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