Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Eigendifferentiale erfüllendieHilbertraumaxiome.
Sie sindinsbesonderenormierbar
〈ED(p)|ED(p)〉 = 1
∆p
Beispiel fürDiracvektoren:
p+ 1 2 ∆p
p− 1 2 ∆p
= ∆p
= 1
∆p
dp ′
p+ 1 2 ∆p
p− 1 2 ∆p
dp ′′
¯α p ′
¯α p ′′
δ(p ′ −p ′′ )
1
∆p
|x〉 : EigenfunktiondesOrtsoperators
ˆx x ′ = x ′ x ′
〈x|ψ〉 = ψ(x)
տ diesist dieWellenfunktionin Ortsdarstellung!
vgl. mit cj =
ϕj
ψ
Der erweiterte Hilbertraum 12 besteht aus den Hilbertvektoren und den Diracvektoren.
Man kannmit Diracvektoren im erweitertenHilbertraumim Wesentlichen
so arbeiten wie mit gewöhnlichen Hilbertvektoren, solange man die Normierungskonventionbeachtet.
In Zukunft werden wir bei den Symbolen nicht zwischen Hilbert- und Diracvektoren
unterscheiden. D.h. wie werden den Querstrich über αp weglassen
und wir werden auch den erweiterten Hilbertraum mit H bezeichnen.
13
7.5 Operatorenim Hilbertraum
Operator: Abbildungsvorschrift, die einem Element |α〉 aus dem Hilbertraum
einElement|β〉 zuordnet(Funktion)
|β〉 = A|α〉 ≡ |Aα〉 (10)
Wennwir|α〉und|β〉alsVektorenbetrachten,könnenwiruns AalsMatrix
vorstellen( ” Matrizenmechanik“) –beilinearen Operatoren A. 14
12 Englisch:rigged Hilbertspace
13 Bei einer mathematisch sauberen Beschreibung führt man ein sogenanntes Gelfand-Tripel
Φ ⊂ H ⊂ Φ ∗ ein. Φ ∗ enthält auch Distributionen wie die ” Eigenfunktion“ des Ortsoperators.
Φ hingegen enthält ” gutartige“ Funktionen, bei denen auch n-malige Anwendung
vonOrts-oderImpulsoperatornichtaus Φ hinausführt–dieseFunktionenmüssenimUnendlichenbesondersschnellabfallen.
14 DiegroßeMehrheitderinderQuantenmechanik betrachteten Operatorenistlinear.
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