Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

5.6 Stationäre Lösungen der Schrödingergleichung
Hängt der Hamiltonoperator ˆH nicht explizit von der Zeit ab (der Normalfall
in dieserVorlesung),kann man die zeitabhängige Schrödingergleichungdurch
Separationsansatzvereinfachen:
i¯h ∂ψ
∂t = ˆHψ (46)
ψ(x,t) = f(t)· ϕ(x)
i¯h ˙
f(t)ϕ(x) = ˆHf(t)ϕ(x) |: f(t)· ϕ(x)
i¯h ˙ f(t)
f(t) = ˆHϕ(x) /ϕ(x) (47)
links: Funktionvon t allein rechts:Funktionvon x allein
❀ beideSeitenmüssenkonstantsein,nennenwir dieKonstante E
i¯h ˙ f(t)
= E
f(t)
i¯h ˙ f(t) = Ef(t), ˆHϕ(x) = Eϕ(x) (48)
(48) könnenwirdirektlösen
f(t) = e −i/¯hEt f(0) (49)
o.B.d.A. f(0) = 1 [da ein gemeinsamer Vorfaktor von f(t) · ϕ(x) immer
derDefinition von ϕ(x) zugeschlagenwerdenkann]
ψ(x,t) = e − ī h Et ϕ(x) (50)
Damit ψ(x,t)normierbarbleibt,mussoffensichtlichEreellsein,wobei ϕ(x)
diezeitunabhängige Schrödingergleichung erfüllt.
ˆHϕ(x) = Eϕ(x)
− ¯h2
∆ϕ(x)+V(x)ϕ(x) = Eϕ(x)
2m
Warum nenntman dieLösungen(50) stationär?
Mittelwerte,WahrscheinlichkeitsdichteundWahrscheinlichkeitsstromwerden
zeitunabhängig. Physikalisch ist das besonders wichtig, weil solche
Zustände natürlich gerade die sind, bei denen es nicht zu einer Abstrahlung
kommt(was immer zu einerZeitabhängigkeitführt).
Erwartungswerte:
A = d 3 x
=
i −
e ¯h Et ϕ(x)
∗
i −
Ae ¯h Et ϕ(x)
d 3 xe i
¯h Et ϕ ∗ i −
(x)Ae ¯h Et ϕ(x) =
52
(51)
d 3 xϕ ∗ (x)Aϕ(x) (52)