Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

•
ϕ (1)
l
ϕ (2)
m
einetwaskomplexererZustand
ϕ (1) ϕ (2)
l m +
• |ψ〉 = 1
√ 2
– Interpretation:Teilchen1in Zustand
Teilchen2in Zustand
ϕ (1)
m
ϕ (2)
l
ϕ (1)
l
ϕ (2)
m
– keinesderEinzelteilchen hat einenZustand!
(VollständigeKenntnisdesGesamtzustandesbeinhaltetnichtvollständigeKenntnisderEinzelzustände.)
SolcheZuständeheißenverschränkt.
Anmerkung: Zustände mehrerer identischer Teilchen (Elektronen, Photonen)
müssen symmetrisch oder antisymmetrisch unter einer
PermutationderTeilchensein
Fermionen-antisymmetrisch
Bosonen- symmetrisch
(definierendeEigenschaft)
Spin-Statistik-Theorem Spin halbzahlig für Fermionen,
ganzzahlig für Bosonen
BohmsZweiteilchenzustand:Singulett-Zustand zweierTeilchenmitSpin
տ
(Gesamtspin 0)
1
2
|ψ〉 = 1
√ |↑〉 1 |↓〉 2−|↓〉 1 |↑〉 2 , (1)
2
dabei ist |↑〉 i der Zustand, bei dem der Spin von Teilchen i nach ” oben“
weist,|↓〉 i der,beidemernach ” unten“ weist
Wir haben noch nicht spezifiziert, auf welche Raumrichtung sich ” oben“
und ” unten“ beziehen, also etwa ob wir Spinkomponenten in z- oder in
x-Richtungbetrachten.Dasistauch unnötig,dennderZustand(1) istrotationsinvariant!
Umdieszusehen,führenwireinkartesischesKoordinatensystemundeine
neueNotationein.Bezeichne
|z+〉 i , |z−〉 i
dieEinteilchenzuständemit Spin in bzw. gegendie z-Richtung,also
σ (i)
z |z+〉 i = |z+〉 i , σ (i)
z |z−〉 i = −|z−〉 i
undallgemein
|ϑ, ϕ,+〉 i , |ϑ, ϕ,−〉 i ⎛ ⎞
sin ϑ cos ϕ
Eigenzustände zum Operator σ ·n mit n = ⎝sin
ϑ sin ϕ⎠
zu den Eigen-
cos ϑ
werten±1(d.h.Zuständemit Spin in Richtung±n).
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