Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

|ψ(x,t)| 2 =
1
√ e
πξ(t) −(x−p 0t/m)2 ξ(t) 2
ξ(t) = ξ0 1+ ¯h2t 2
m2ξ0 4
Zerfließenoder ” Breitfließen“ desWellenpakets
Ursache: Dispersion vg = vg(p0) vg = vϕ
[elektromagnetische Wellen im Vakuum haben keine Dispersion:
ω = ck vg = vϕ = c]
❀ ψ ∗ ψ kann nicht Teilchendichtesein
−eψ ∗ ψ nicht dieLadungsdichte
[in Messungen findet man immer ganzzahlige Vielfache der
Elementarladung e ❀ immer ganze Teilchen]
Problem: Interpretationvon ψ
Lösung: (Born,1926) [Nobelpreis1954]
Setzenwir
ψ ∗ ψ isteineWahrscheinlichkeitsdichte
w(x,t)∆x ≡ ψ ∗ (x,t)ψ(x,t)∆x ist die Wahrscheinlichkeit, ein
TeilchenzurZeittimIntervall[x,x+ ∆x]zufinden,wennman
eineOrtsmessungausführt
Wahrscheinlichkeiten können beliebig zerfließen [bringt andere
Probleme]
g(p,t) = g(p)e − ī h E(p)t , (17)
dannist ψ(x,t) die Fouriertransformiertevon g(p,t)
ψ(x,t) = 1
√
2π¯h
g(p,t) = 1
√
2π¯h
∞
−∞
∞
−∞
dpg(p,t)e i
¯h px
i −
dxψ(x,t)e ¯h px
(18)
w(p,t)∆p = g ∗ (p,t)g(p,t)∆p istdieWahrscheinlichkeit,beieinerImpulsmessung
einen Impuls zwischen p
und p+∆pzu finden
[für freiesTeilchenzeitunabhängig]
ψ(x,t) und g(p,t) nenntman Wahrscheinlichkeitsamplituden
[für dieOrts-bzw. ImpulsdichtedesTeilchens]
5.3.2 Normierung
Wahrscheinlichkeitenwerdengewöhnlichaufeins(=sicheresEreignis)normiert,dasich
dasTeilchenirgendwoaufhalten muss:
∞
dx ψ ∗ (x,t)ψ(x,t) = 1 (19)
−∞
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