Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

∑ ν
✘
−✘α ✘✘ 2 ρ l+ν+1 +2ρ l+ν −l(l+1)ρ l+ν−1
e −αρ = 0
cν+1 (l+ ν+2)(l + ν+1)−l(l+1)
−cν 2α(l+ ν+1)−2
ρ l+ν = 0
Die geschweifteKlammer mussverschwinden.
α(l+ ν+1)−1
cν+1 = 2
(l+ ν+2)(l+ ν+1)−l(l+1)
(l+1+ν+1)(l+ ν+1)−l(l+1) =✘✘✘✘ (l+1)l
+(ν+1)(2l +1)+(ν+1) 2 −✘✘✘✘ cν
l(l+1)
= (ν+1)(2l+1+ν+1)
cν+1 = 2
α(l+ ν+1)−1
(ν+1)(2l +1+ν+1) cν
Ausc0 lassensich also alle Koeffizientenberechnen(Nenner= 0).
Fallunterscheidung (n ∈ N)
1) ∀ν : α =
2) ∃ν : α =
1 1
≡
l+ ν+1 n
1 1
=
l+ ν+1 n
⇒ Reihebricht nicht ab
⇒ Reihebricht ab
(69)
(69’)
Im Fall 2) ist die Normierbarkeitvon u(ρ) gewährleistet(Polynom mal abfallende
Exponentialfunktion❀ist integrabel)wie stehtesim Fall 1)?
und
ν ≥ N ≫ l+1
(69)
cν+1 =
2α
ν+l+2 cν
cν = k (2α)ν+l+1
(ν+l+1)!
u(ρ) =
N−1
∑
ν=0
cνρ ν+l+1
e −αρ +k
P1(ρ)
∞ (2αρ)
∑
ν=N
l+ν+1
(ν+l+1) = e2αρ −
P1(ρ), P2(ρ) sindPolynomein ρ
k = (N+l+1)!
(2α) N+l+1 cN (Konstante)
∞
∑
ν=N
(2αρ) l+ν+1
(ν+l+1)! e−αρ
N−1
∑
ν=−(l+1)
u(ρ) = (P1(ρ)−P2(ρ)) e −αρ +ke αρ
137
(2αρ) l+ν+1
(ν+l+1)!
P2(ρ)/k
(70)