Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

p =
Allgemein:
F(p) =
dp dx ′¯h
∂
i ∂x ′ei
¯h px′
ψ ∗ (x ′ ,t)
¯h i
e¯h i px′
ψ ∗ (x ′ ∞
,t)
−
−∞
¯h
dx
i
′ e i
¯h px′ ∂
∂x ′ ψ∗ (x ′
,t)
= 1
2π¯h
0
i −
dxe ¯h px ψ(x,t)
= 1
−
2π¯h
¯h
dx
i
′
dx dpe i
¯h p(x′ −x)
2π¯h δ(x−x ′ ∂
∂x
)
′ ψ∗ (x ′ ,t)ψ(x,t)
= − ¯h
∞ ∂
dx
i −∞ ∂x ψ∗
(x,t) ψ(x,t)
= − ¯h
i ψ∗ ∞
(x,t)ψ(x,t)
+
−∞
¯h
∞
dxψ
i −∞
∗ (x,t) ∂
∂x ψ(x,t)
=
∞
−∞
∞
∞
−∞
0
dx ψ ∗ (x,t) ¯h
∂
∞
ψ(x,t) = dx ψ
i ∂x −∞
∗ (x,t)ˆp ψ(x,t)
dx ψ ∗ (x,t)ˆp ψ(x,t) (38)
−∞
ˆp vertauschtnicht mit x, denn
ˆpx−xˆp = ¯h
i
dx ψ ∗
¯h ∂
∞
(x,t)F ψ(x,t) = dx ψ
i ∂x −∞
∗ (x,t)F(ˆp) ψ(x,t)
∂
∂x x−x¯h
i
∂
∂x
= ¯h
i
wasman üblicherweisein derForm
[ˆp,x] = ¯h
i
(39)
(40)
schreibt, wo [A,B] ≡ AB−BA als Kommutator der Operatoren A und B
bezeichnetwird
❀ esistin (39) also wichtig, dass F(ˆp) zwischen ψ ∗ und ψ steht
Vorsichtbeiallgemeinen Funktionenvon x und p:
xp = dx ψ ∗
xˆpψ px = dx ψ ∗ ˆpxψ
px−xp = dx ψ ∗
(ˆpx−xˆp)ψ = dx ψ ∗¯h ¯h
ψ =
i i
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