Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

10.4 Zeitabhängige (diracsche)Störungsrechnung
H = H0+H S (t) (37)
Störoperatorzeitabhängig esgibtkeinestationärenLösungenmehr
i¯h| ˙ψ〉 = H|ψ〉 (38)
hat keineLösungenderForm
i −
|ψ(t)〉 = e ¯h Ent
|n〉 H|n〉 = En|n〉
Ist die Störung H S (t) klein, so kann man den Effekt der Störung so interpretieren,
dass Übergänge von einem Eigenzustand von H0, etwa |n〉,
in einen anderen stattfinden, etwa |m〉. Die Aufgabe der Störungstheorie
wird es dann sein, Übergangswahrscheinlichkeiten für solche Übergänge
in Abhängigkeitvon derZeitzu bestimmen.
VollständigkeitderEigenzuständedesungestörtenProblems
H0|n〉 = En|n〉 ∑|n〉〈n| = 1 (39)
Entwickelbarkeitvon |ψ(t)〉 nach den|n〉
− i
|ψ(t)〉 = ∑cn(t) ⏐
e ¯h
n ⏐
führt zu einfacherer
DGL für die cn(t)
Ent
|n〉 = ∑ ˜cn(t)
⏐
|n〉
n ⏐
führt zu einfacher aus-
(40)
sehenderEntwicklung
Einsetzenvon (40) in die Schrödingergleichung(38):
i¯h ∑ n
i − ˙cne ¯h Ent
|n〉+i¯h ∑
n
= H0 ∑ n
cn
i −
cne ¯h Ent S
|n〉+ H (t) ∑
n
− i
¯h En
i −
e ¯h Ent
|n〉
i −
cne ¯h Ent
|n〉
H0|n〉 = En|n〉 unterstricheneTermeentfallen
Skalarproduktmit 〈m|
i −
i¯h ˙cm e ¯h Emt
= ∑
n
i −
cn e ¯h Ent S
〈m|H (t)|n〉
HS mn(t)
Def: Übergangsfrequenzen
ωnm = 1
¯h (En −Em) (41)
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