Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Wasserstoff-ähnlichesAtom(Kernladungszahl Z, ein Elektron)
H0 = p2
−
2m0
Ze2
4πε0r
(40)
mit der ersten relativistischen Korrektur der kinetischen Energie ist die
Störung
H1 = − 1
8
(p 2 ) 2
2m0c 2
m3 1
= −
0c2 zu addieren: H = H0+H1.
H0+ Ze2
2
4πε0r
Dies führt zu einer Energieverschiebung der Niveaus (1. Ordnung Störungstheorie)
∆Enlm = 〈nlm|H1|nlm〉 = − 1
2m0c2
E 2 n +2EnZ e2
1
4πε0 r nl
Ze2 2
1
+
4πε0 r2
mit 44
1
r
1
r2
nl
nl
= 〈nlm| 1
r
|nlm〉 = Z
aBn 2
= 〈nlm| 1
|nlm〉 =
r2 ∆E nlm = − m0c 2 (Zα) 4
2n 4
⇒ ∆E nlm < 0 ∀n,l
11.8.2 Spin-Bahn-Kopplung
Dirac-Gleichung
Z2 a2 Bn2l+ 1
2
n
l+ 1
2
❀ H2 = 1
2m2 1 dV(r)
S· L
0c2 r dr
− 3
4
V(r) = e Φ(r) potentielle Energie im elektrostatischenPotential
Φ(r)
heuristischesVerständnisvon (44):
E = −∇Φ = − x
r
nl
(41)
(42a)
(42b)
(43)
(44)
dΦ
dr im Ruhesystemdese− ,dasmit derGeschwindig-
keit v um dasProtonkreist,existierteinMagnetfeld B = − 1
c 2v×E
44 Eigentlich müsste man hier Störungstheorie mit Entartung machen, aber die Zustände
|nlm〉sind bereitsdieadaptiertenEigenfunktionen, da 〈nlm|H 1|nl ′ m ′ 〉 = 0 für l = l ′ oder
m = m ′ .
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